Integration von 1/(1-x^2)

Question

ich verzweifle gerade ein wenig an der Integration von \(\frac{1}{(1-x^2)}\). Ich habe es mit der Substitution \(z=1-x^2\) versucht, komme aber nicht auf das richtige Ergebnis. :)

Answer 1

Mache zuerst eine Partialbruchzerlegung von \(\frac{1}{1-x^2}\). Das Ergebnis lässt sich dann ganz einfach integrieren.

Comments

So weit habe ich das schon mal. Aber wenn ich dann integriere und die Grenzen einsetze (integriert werden soll von -0,5 bis 0,5), kommt nicht dasselbe raus, wie wenn ich das Integral z.B. in Matlab lösen lasse.

Ich habe durch Partialbruchzerlegung erhalten:

$$\frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{2(1-x)}+\frac{1}{2(1+x)}$$

Wenn ich nun integriere, erhalte ich als Stammfunktion

$$\frac{1}{2}*ln(x+1)-\frac{1}{2}*ln(x-1)$$

Ist das bis dahin korrekt oder habe ich einen Fehler eingebaut?

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Richtig. Das wäre eine Stammfunktion. Kannst du damit kontrollieren.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%281%2F%281-x%5E2%29%29

und nötigenfalls +C ergänzen.

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Besser wäre \(\frac 1 2 \ln|x+1|-\frac 1 2 \ln|x-1|\).

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@deree
Deine Stammfunktion enthält einen Fehler

anstelle
1/2 * [ ln ( 1 + x ) - ln ( x - 1 ) ]

muß es heißen
1/2 * [ ln ( 1 + x ) - ln ( 1 - x ) ]

Um zu sehen ob man richtig integriert hat
leitet man probeweise einmal wieder ab.

Dann muß die Ausgangsfunktion herauskommen.

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@georg: Die Stammfunktion von DeRee ist nicht unbedingt falsch. Jedenfalls auch nicht "falscher" oder "richtiger" als dein Vorschlag.

Auf dem Intervall \((-\infty, -1)\) ist \(x\mapsto \frac 1 2 \ln(-x-1)-\frac 1 2 \ln(1-x)\) eine Stammfunktion.
Auf dem Intervall \((-1, 1)\) ist \(x\mapsto \frac 1 2 \ln(x+1)-\frac 1 2 \ln(1-x)\) eine Stammfunktion.
Auf dem Intervall \((1, \infty)\) ist \(x\mapsto \frac 1 2 \ln(x+1)-\frac 1 2 \ln(x-1)\) eine Stammfunktion.

Deswegen auch mein Vorschlag mit den Beträgen: Da hat man alle Fälle zusammengefasst.

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Okay, ich habe es nun richtig (und auch verstanden ;-)), ich danke Euch für die Hilfe :)

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@DeRee
deine Stammfunktion stimmt auch.

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@georgborn: DeRee ist zufrieden. Beträge sind hier schon wichtig. Die gegebene Funktion (Graph rosa) ist auf R\{1,-1} definiert. Da sollte man möglichst eine Stammfunktion angeben, die in den gleichen Bereichen definiert ist. rot und blau sind nur in Teilbereichen Stammfunktionen. Die Version mit den Beträgen (grün) (ich habe mit + 1 erreicht, dass die Kurven nicht zusammenfallen) erstreckt sich über den ganzen Bereich. 

 ~plot~1/2 (-log(1-x)+log(1+x));1/2 (-log(x-1)+log(1+x));1/2(-log(abs(1-x))+log(abs(1+x))) +1;1/(1-x^2)~plot~