1000! mit Stirling-Formel

Question

wie genau löse ich 1000! mit hilfe der stirling formel so auf, dass ich das ergebnis in zehnerpotenz schreibweise erhalte?

Comments

Formel findest du vermutlich hier:

https://www.mathelounge.de/25397/schwache-version-der-stirlingschen-formel-n-√n-n-5-n

Versuch es mit dem 10-er Logarithmus der nach n! aufgelösten Formel.

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ah danke so funktionierts ja leicht :)

Answer 1

Nach Stirling:

n!≈√(2πn)(n/e)^n

 

n!≈4,024·10^2567

 

Das stimmt auch ziemlich genau mit dem tatsächlichen Wert überein ;).

 

Grüße

Comments

danke für die antwort aber wie genau wandle ich (1000/e)¹⁰⁰⁰√(2000π)  in einen ausdruck mit zehnerpotenzen um?

ich hab zum beispiel 10²⁰⁰⁰ (10/e)¹⁰⁰⁰ 20*√(5π)

wie erhalte ich daraus jetzt das ergebnis ohne viel mit taschenrechner zu berechnen?

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(10/e)¹⁰⁰⁰ ≈3,678¹⁰⁰⁰=???*10^??? ich kann mich nicht daran erinnern dass ich das jemals berechnet habe ohne taschenrechner.

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Um den Taschenrechner wirst Du wohl nicht rumkommen, wenn Dir aber eine großzügige Abschätzung reicht, mein Vorschlag:

 

(10/e)¹⁰⁰⁰≈3,7¹⁰⁰⁰

 

Nun wollen wir die Form 10^y haben:

 

3,7¹⁰⁰⁰=10^y   |Logarithmus

1000*ln(3,7)=y*ln(10)

y≈568

 

Multipliziert mit den 10²⁰⁰⁰ kommen wir auf 10²⁵⁶⁸.

Den TR nur für den Logarithmus nutzend, kommt man damit auf ein sehr akzeptables Ergebnis. Das allerdings um eine Größenordnung vom Originalwert abweicht. Was bei der Größe aber gangbar ist, wie ich denke^^.

 

Grüße