Beweis der Differenzierbarkeit

Question

wenn ich zeigen will, dass ein in a stetige Funktion f differenzierbar ist, brauche ich andere Formen außer

lim n --> ∞ (f(x) - f(a))/(x-a)? Und wie weit muss ich nachrechnen, damit es als Beweis ausreicht?

Answer 1

brauche ich andere Formen außer

lim n --> ∞ (f(x) - f(a))/(x-a)? Und wie weit muss ich nachrechnen, damit es als Beweis ausreicht?

Du meinst wahrscheinlich x_n ist irgendeine eine Folge mit Grenzwert a und

dann bestimmst du

lim n --> ∞ (f(x_n) - f(a))/(x_n-a)?

Das würde Sinn machen.

Häufig macht man es auch so:

Man stell sich vor eine Folge, die den Grenzwert 0 hat, und nennt die

Werte der Folgenglieder dann meistens h und betrachtet

lin h --> 0  ( f(a+h) - f (a) )  / h 

Zum Beispiel, wenn f(x) = x^3 ist und du willst f ' (a) haben, dann betrachtest du

( ( a+h ) ^3 - a^3 ) / h   =   ( a^3 + 3a^2 h + 3 a h^2 + h^3  -  a^3 ) / h

= (  3a^2 h + 3 a h^2 + h^3  ) / h

=   3a^2  + 3 a h + h^2  

und das hat für h gegen 0 den Grenzwert  3a^2.

Also  f ' ( a) = 3a^2

Answer 2

Nicht stetige Funktionen sind auch nicht differenzierbar. Also muss die Funktion mindestens steig sein. Ist sie das, musst Du den Grenzwert \(  \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \) auf Existenz überprüfen. Existiert der Grenzwert, ist \( f(x) \) in \( a \) differenzierbar.

Comments

Wie sieht dann so ein Beweis-Rechenweg aus?

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Gib doch einmal ein a und eine Funktion an.