Nullstellen von f(x)=x^3-6x^2+9x+1 berechnen.

Question

Wie berechne ich die nullstellen?

Comments

Wenn du richtig abgeschrieben hast und das eine Schulaufgabe ist, musst du wohl ein numerisches Verfahren verwenden.

Du kannst im folgenden Link jeweils testen, ob es eine Lösung gibt, die du hättest erraten können.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3-6x%5E2%2B9x%2B1%3D0

Das ist hier nicht der Fall. Daher Funktionsgleichung auf Abschreibfehler prüfen und, falls richtig abgeschrieben: Numerisches Verfahren benutzen.

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Für die Aufgabe durfte man den Taschenrechner zur Hilfe nehmen.Kann es sein,dass ich bei dir Aufgabe die funktion einfach hätte eingeben können,um dann die Nullstelle vom Taschenrechner abzulesen ?

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Lass mich raten: Ihr benutzt einen GTR!
Falls ja, welchen?

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Wenn du den erlaubten Taschenrechner nicht angibst, kann dir niemand sagen, was du dort eingeben musst.

In der Schule wird oft das Newtonverfahren als ein Näherungsverfahren besprochen.

Dazu gibt es bei mathelounge einen Artikel

https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren

Einfach in der Suche von mathelounge Newtonverfahren suchen und den Artikel dazu wählen.

Answer 1

(1)  Substituiere \(x=z+2\) und erhalte \(z^3-3z+3=0.\)
(2)  Substituiere \(z=u+\frac1u\) und erhalte \(u^6+3u^3+1=0.\)
(3)  Substituiere \(v=u^3\) und erhalte \(v^2+3v+1=0.\)
(4)  Löse die quadratische Gleichung für \(v\) mithilfe der \(pq\)-Formel.
(5)  Berechne \(u\) aus \(v\) durch Rücksubstitution.
(6)  Berechne \(z\) aus \(u\) durch Rücksustitution.
(7)  Berechne \(x\) aus \(z\) durch Rücksubstitution.

Die reelle Lösung sollte sein$$x_{\small N}=2-\sqrt[3]{\tfrac12(3-\sqrt5)}-\sqrt[3]{\tfrac12(3+\sqrt5)}.$$

Comments

Als Ergänzung: https://www.matheretter.de/rechner/kubische-gleichung/?a=1&b=-6&c=9&d=1&e=0

Die Lösungen der Gleichung sind:

x₁ = -0,1038
x₂ = 3,0519 + 0,56524·i
x₃ = 3,0519 - 0,56524·i