Substituiere
u := 2 ^ x ( 1 )
Dann wirst du auf die quadratische Gleichung ( QG ) geführt
1/8 u ² - 3 u + 16 = 0 | * 8 ( 2a )
f ( u ) := u ² - 24 u + 128 = 0 ( 2b )
Nein wir machen das hier nicht mit der Mitternachtsformel. Verlangen tust du " ohne Logaritmus " und kriegst " ohne Wurzel " Nur damitte mal weißt, in welchem Film dassde bist.
Schau mal, was Pappi alles weiß:
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Schüler fragen ja immer: Welche Form der QG ist für mich wichtig? Schon mal auf Grund des SRN die ===> primitive ( ganzzahlig gekürzt )
Ein Polynom wie ( 2b ) , wo primitive und Normalform zusammen fallen, heißt normiert.
Ein normiertes Polynom kann wenn ÜBERHAUPT rationale, so nur GANZZAHLIGE Wurzeln haben.
Gegen den Verfasser des obigen Wikibeitrags erhebe ich übrigens den Vorwurf , dass er ein Troll ist. " Nie in se Leben " kann der SRN wie behauptet von Gauß stammen. Gauß ist doch Kult; wieso hat dein Lehrer noch nie von diesem SRN gehört? Auch Standardliteratur wie ===> v.d. Waerden kennt ihn nicht.
Ferner folgt aus dem SRN ein trivialer Beweis, warum Wurzel ( 2 ) u.Ä. irrational sind. Warum wurde dieser Beweis nicht längst kanonisiert?
Wie ihr wisst, zieht jede Fälschung einen Rattenschwanz technischer Probleme nach sich. Denkt nur an die Tinte von Konrad Kujau, die es vor dem Krieg noch gar nicht gab. Genau so hier. Unmittelbar nachdem mir der SRN bekannt wurde, entdeckte ich zwei pq-Formeln. Seien ( 3a ) die Wurzeln von ( 2b )
u1;2 := p1;2 / q1;2 € |Q ( 3a )
p1 p2 = a0 = 128 ( 3b )
q1 q2 = a2 = 1 ( 3c )
Und dem Genie Gauß, dem ( angeblichen ) Entdecker des SRN , sollte die Bedeutung von ( 3bc ) entgangen sein? Ja noch fantastischer: Niemandem vor mir sollte das aufgefallen sein in den letzten 200 Jahren? Völlig abwegig.
Du hast verstanden: In ( 2b ) sind sämtliche Zerlegungen des Absolutgliedes 128 anzugeben. Ist das nicht ein bissele viel; ja lohnt sich das überhaupt noch? Ja; denn überlegen wir uns, was ggt u1;2 sein könnte. Abermals löst die Frage Kopf Schütteln aus, dass Gauß der Teilerfürst, der Entdecker von Teilbarkeitseigenschaften, die unsereins nicht mal versteht, sich nicht für diesen ggt intressiert haben sollte. Sei m ein Teiler; dann folgt aus dem Vieta von ( 2b )
m | u1;2 <===> m | p ; m ² | q ( 4a )
Ein m , welches die rechte Seite von ( 4a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms f in ( 2b ) heißen - K wie Koeffizient. Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt . Den gkt von f in ( 2b ) ermitteln wir analog, wie du das auch bei dem ggt machen würdest:
p = 24 = 2 ³ * 3 ; q = 128 = 2 ^ 7 ===> gkt ( f ) = 2 ³ = 8 ( 4b )
Deine Vermutung ist richtig; ein Polynom kannst du genau so durch seinen gkt kürzen, wie man das mit dem ggt eines Bruches ja auch machen würde. Hierzu führen wir die Substitution durch
u =: v * gkt ( f ) = 8 v ( 4c )
Jetzt ( 4c ) einfüttern in ( 2b )
f ( v ) = ( 8 v ) ² - 3 * 8 ( 8 v ) + 8 ² * 2 = ( 4d )
= 8 ² ( v ² - 3 v + 2 ) ( 4e )
Und - oh Wunder - 2 ist ja eine Primzahl. Hier überlebt nur noch eine Alternative; allerdings bleibt die Zweideutigkeit mit dem Vorzeichen, weil ja Minus Mal Minus auch Plus ergibt. Diese Kalamität wird ausgeräumt durch die cartesische Vorzeichenregel
" Zwei Mal Plus "
0 < v1 < = v2 ( 5a )
v1 = 1 ===> u1 = 2 ^ x1 = 8 ===> x1 = 3 ( 5b )
v2 = 2 ===> u2 = 2 ^ x2 = 16 ===> x2 = 4 ( 5c )
An sich wäre dieser Beweis ja noch nicht hinreichend; denn wer sagt uns, dass Bedingung ( 3a ) erfüllt ist? Rein teoretisch müsstest du immer noch Vieta p von ( 2b ) nachrechnen. aber hier kommt uns ein glücklicher Umstand entgegen.
Wir haben gesehen; mehr wie zwei Lösungen kann dein Problem nicht haben. Beide müssen sie Wurzeln von ( 2b ) sein. Da wir aber zwei Lösungen gefunden haben, muss es sich um die fraglichen Wurzeln handeln.
