Integralrechnung.Graph G_(f) mit f(x)= 1/8 (x^4 - 4x^3) ; G_(h) mit h(x) = 1/8x^4 - 1/2x^3 + 27/8

Question

ich übe gerade wieder und komme bei drei Aufgaben nicht weiter (6.2.3    6.2.4   6.3.2) und bei 6.1 fehlt mir noch was von der Ausgangsfunktion. Kann mir bitte jemand dabei helfen und die anderen Lösungen kontrollieren!?

Speziell bei der 6.3.2 versteh ich nicht wie man den Wert u berechnet und vor allem was man damit: 0<u<3 anfangen soll. Kann mir das  jemand auch noch bitte erklären?

Gruß Thomas

Aufgaben:

Meine bisherigen Lösungen:

Answer 1

g ´´ ( x ) = 3 * x^2 - 6 * x
g ´( x ) = x^3 - 3 * x^2 + c
g ( x ) = x^4 / 4 - 3 * x^3 / 3 + c * x + d
g ( x ) = x^4 / 4 - x^3  + c * x + d

g ( 0 ) = 0 => d = 0
g ( x ) = x^4 / 4 - x^3  + c * x

Sattelpunkt :
g ´( 0 ) = 0  => c = 0
g ´( x ) = x^3 - 3 * x^2
g ( x ) = x^4 / 4 - x^3 

g´´( 0 ) = 0

also
g ( x ) = x^4 / 4 - x^3 

~plot~ x^4 / 4 - x^3 ~plot~

Comments

∫ x^n dx = x^{n+1} / ( n+ 1)
Probe durch differenzieren
[ x^{n+1} / ( n+ 1) ] ´ =  ( n+ 1 ) * x^{n+1-1} / ( n + 1 ) = x^n

∫ x^3 dx = x^4 / 4

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Ok, jetzt hab ich die erste Aufgabe schon mal verstanden!

Kannst du mir noch bitte bei den anderen weiterhelfen?

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f ( x ) = 1/8 * ( x^4 - 4 * x^3 )
Stammfunktion
s ( x ) = 1/8 * ( x^5 / 5 - x^4 ) + c
f ( -2 ) = 6
s ( -2 ) =  1/8 * ( (-2)^5 / 5 - (-2)^4 ) + c = 6

1/8 * ( (-2)^5 / 5 - (-2)^4 ) + c = 6
1/8 * ( -6.4 - 16 ) + c = 6
-2.8 + c = 6
c = 8.8

s ( x ) = 1/8 * ( x^5 / 5 - x^4 ) + 8.8

~plot~  1/8 * ( x^5 / 5 - x^4 ) + 8.8 ~plot~

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Ich will jetzt erst einmal abendessen.
Der Rest folgt später.

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Ja, geht in Ordnung. Guten Appetit!

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Ich hab da nochmal eine Frage bei der Stammfunktion s ( x ) = 1/8 * ( x⁵ / 5 - x⁴ ) + c   , da hast du doch von f ( x ) = 1/8 * ( x⁴ - 4 * x³ ) in der Klammer x^4 integriert zu x^5 /5 aber warum x^3 nur zu x ^4 und nicht x^4 /4?

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x³ nur zu x ⁴ und nicht x⁴ /4 ?

weil es heißt

1/8 * ( x⁴ - 4 * x³ )

4 * x³ => 4 * x⁴ / 4 = x^4 

6.2.4

An der Stelle 1.) muß
geraten, probiert, Cardano, Newton
oder ein Plotter verwendet werden
( Plotten x^3 - 3 * x^2 + 4 und dann die
Nullstellen ablesen )

Lösung x = 2

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Wurde 6.3.2 von Lu zur Zufriedenheit beantwortet ?

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Ja, die Aufgabe 6.3.2 wurde von Lu zu meiner Zufriedenheit gelöst.

.....

Ich komm nochmal auf die Aufgabe 6.2.3 zurück.

f ( -2 ) = 6 

Wenn ich in die Funktion f ( x ) = 1/8 * ( x⁴ - 4 * x³ )  die -2 einsetze, dann komme ich immer auf -6.

f ( x ) = 1/8 * ( -16 - 32 ) = -6.

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f ( x ) = 1/8 * ( x⁴ - 4 * x³ )

f ( -2 ) = 1 / 8 * ( (-2)^4 - 4 * (-2)^3 )
f ( -2 ) = 1 / 8 * ( 16 - 4 * ( -8  ) )
f ( -2 ) = 1 / 8 * ( 16 + 32 )
f ( -2 ) = 6

mfg Georg

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Ach ok ich hab mich nur verrechnet. Entschuldigung :)

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Und dann noch eine Sache:

Hast du mal meine gelösten Aufgaben überflogen, bzw. konntest du irgendwo Fehler entdecken?

Bin dir sehr dankbar für all deine Hilfe!

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Keiner ist perfekt. Weder du noch ich noch sonstwer.

6.2.2 habe ich auch so herausbekommen.

6.2.4 Integral ( t - f ) zwischen -2 und 2.
Hat mein Matheprogramm auch 6.4 herausbekommen

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Ja, da hast du wohl recht!

Danke für die Überprüfung meiner Lösungen und Danke für deine Hilfe und Geduld bei den Aufgaben, wo ich nicht weiterkam.

Ich hoffe du und Lu, ihr seit mir nicht böse, wenn ich diesmal keinen Stern vergebe, denn ihr habt mir beide wirklich sehr geholfen, sodass ich mich nicht zwischen euch entscheiden kann. Aber ich hab euch beiden einen Pluspunkt gegeben, wenn's was nützt.

Vielen Dank für alles!

Gruß Thomas

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Gern geschehen.
Stelle ruhig weiter Anfragen im Forum ein.
Hier ist bekanntermaßen alles freiwillg.
Wer Lust hat kann antworten.

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Ja, dass werde ich auf jeden Fall machen. Danke

Answer 2

Schluss deiner ersten Rechnung.

g ''(x) = 3x^2 - 6x

g ' (x) = x^3 - 3x^2   | sorge für eine 4 vor dem x^3. 1 = 1/4 * 4

g '(x) = 1/4* 4 x^3 - 3x^2              .

g (x)  = 1/4 * x^4 - x^3 = x^4/4 - x^3

= x^3 (x/4  - 1)

Dieses g(x) ist nun mal eine mögliche Ausgangsfunktion und sie hat zufälligerweise den Sattelpunkt (dreifache Nullstelle x=0 sagt dir das) im Koordinatenursprung. Du bist somit fertig mit der Aufgabe.

Man kann aber sonst beim Ableiten rückwärts immer auch noch Konstanten dazubekommen.

g ''(x) = 3x^2 - 6x

g ' (x) = x^3 - 3x^2  + C  | sorge für eine 4 vor dem x^3. 1 = 1/4 * 4

g '(x) = 1/4* 4 x^3 - 3x^2     + C          .

g (x)  = 1/4 * x^4 - x^3 + Cx + D = x^4/4 - x^3 + Cx + D

C und D kannst du in deiner Aufgabe einfach 0 lassen.

Comments

Danke dir auch. Ich habs jetzt verstanden, wie man das rechnet! :)

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Hier der Graph zur letzten Aufgebe.

~plot~1/8*x^4 - 1/2*x^3 + 27/8~plot~

integriere h(x) = 1/8*x^4 - 1/2*x^3 + 27/8 von 0 bis 3

Dann kannst du von Auge die Gerade x=u einpassen.

~plot~1/8*x^4 - 1/2*x^3 + 27/8; x=1;x=2;x=0.75~plot~

Irgendeine von den gezeichneten oder noch nicht gezeichneten vertikalen Linien wird die eben berechnete Fläche halbieren.  

integriere h(x) = 1/8*x^4 - 1/2*x^3 + 27/8 von 0 bis u und setze den resultierenden Term, der u enthält mit der Hälfte der gefundenen Fläche gleich. 

Nun noch die Gleichung nach u auflösen. 

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Beim integrieren hab ich folgendes raus:

[ 1/8 x^5/5 - 1/2 x^4/4 +27/8]    oben an der eckigen Klammer 0 und unten u

1/40 u^5 - 1/8 u^4 +27/8 u - 0

Jetzt hab ich noch eine Frage wie löse ich das nach u auf? Alles zusammenrechnen?

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Und noch eine Frage, zu den vertikalen Linien: Hast du die nur so "wahllos" gesetzt oder hast du dafür etwas berechnent?

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u kann gemäss Aufgabenstellung irgendwelche Werte zwischen 0 und 3 haben. Da kann man einfach mal ein paar wählen, um sich ein Bild der Fragestellung machen zu können.

[ 1/8 x⁵/5 - 1/2 x⁴/4 +27/8]    oben an der eckigen Klammer u und unten 0

= 1/40 u⁵ - 1/8 u⁴ +27/8 u - 0.

Das ist dein 2. Integral.

Dein erstes geht wie geschrieben von 0 bis 3. Da bekommst du eine Zahl Z raus. Die halbierst du dann.

Die oben erwähnte Gleichung lautet dann

1/40 u⁵ - 1/8 u⁴ +27/8 u - 0 = Z/2.        

Hier wirst du u bestimmen müssen. 

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Ja, bei dem ersten Integral hab ich raus: 6,075 das halbiert ist 3,0375 rund 3,04

1/40 u⁵ - 1/8 u⁴ +27/8 u - 0 = 3,04

aber wie löst man das jetzt auf?

Ich hab das so gemacht aber denke mir mal das ist falsch:

1/8 u -1/2 u +27/8 u= 3,04

3 u^3= 3,04

9u= 3,04

u=0,34 

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Runden solltest du da nicht. Lass auch die Exponenten nicht weg!

Schau erst mal hier, was rauskommen könnte:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F40+u%5E5+-+1%2F8+u%5E4+%2B27%2F8+u++%3D+3.0375

0.921812 also ungefähr 1 passt zur Zeichnung.

Um einen solchen Wert zu bestimmen benutzt du am besten das Newtonverfahren mit dem Startwert 1.

Tipp: Wenn ihr noch keine numerischen Verfahren hattet, erst mal Rechnung bis jetzt nochmals prüfen.

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Ach so macht man das:

1/40 u⁵ - 1/8 u⁴ +27/8 u -  3,0375 = 0

Hab das nun mit meinem Taschenrechner über Polynomialegleichungen 5. Grades gelöst und komme auch auf das Ergebnis 0,9218124089

also u= 0,9218

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Vielen Dank auch dir noch mal für die Hilfe der beiden Aufgaben!

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Ich hoffe du und georgborn, ihr seit mir nicht böse, wenn ich diesmal keinen Stern vergebe, denn ihr habt mir beide wirklich sehr geholfen, sodass ich mich nicht zwischen euch entscheiden kann. Aber ich hab euch beiden einen Pluspunkt gegeben, wenn's was nützt.

Vielen Dank für alles!

Gruß Thomas

Answer 3

g(x) =(( x-4) *x³ ) /4  ,  dass habe ich als Ausgangsfunktion !

Comments

wie machst du das?