Doppelt indizierte Familien von Mengen. Obere Grenze der indizierten Familie. Gleichheit zweier Mengen beweisen.

Question

Es geht um doppelt Indizierten Familien von Mengen.

\( \lim_{n \in \mathbb{N}} sup A_n  := \bigcap_{n=0}^{\infty} \bigcup_{m=n}^{\infty} A_m \)

Es ist offensichtlich \( \bigcap_{n=0}^{\infty} \bigcup_{m=n}^{\infty} A_m = \bigcap_{n=0}^{\infty} \bigcup_{m=0}^{\infty} A_{n+m}\). Man definiere \(A_{n+m} = A_{n,m}\).Dann ist \( \lim_{n \in \mathbb{N}} sup A_n = \bigcap_{n=0}^{\infty} \bigcup_{m=0}^{\infty} A_{n+m} = \bigcap_{n=0}^{\infty} \bigcup_{m=0}^{\infty} A_{n,m} \).

Es geht um den Beweis der letzten Gleichung. Die Richtung \( \subseteq \) ist klar. Leider kann ich \( \supseteq \) nicht nachvollziehen. Ich musste also zeigen, dass aus \( (\forall n \in \mathbb{N})(\exists m\in \mathbb{N}) x \in A_{n,m} \), folgt \( (\forall n \in \mathbb{N})(\exists m\in \mathbb{N})(m \ge n \wedge x \in A_{n,m}) \).

Comments

Ich habe eine Verständnisfrage:

Warum definiert man etwas, das letztendlich eine Schnittmenge von Vereinigungen (immer weniger Mengen) ist, als lim sup ?

n∈ N ? Wie habt ihr das in der Vorlesung interpretiert / gelesen?

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TR, es wird als obere grenze der indizierten Familie \( \{A_n: n  \in \mathbb{N}\} \) bezeichnet.

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Mein Lösungsansatz, bitte kontrollieren.

Annahme: \( (\forall n \in \mathbb{N})(\exists m \in \mathbb{N}) x \in A_{n,m} \).

Zu zeigen: \( (\forall n \in \mathbb{N})(\exists m \in \mathbb{N}) ( m \ge n \wedge x \in A_{n,m} )\)

Wir können zeigen, dass die negation von \( (\forall n \in \mathbb{N})(\exists m \in \mathbb{N}) ( m \ge n \wedge x \in A_{n,m} )\) nicht gelten kann und somit ist die Aussage wahr.

Zu zeigen ist also: \( \neg (\forall n \in \mathbb{N})(\exists m \in \mathbb{N}) ( m \ge n \wedge x \in A_{n,m} )\). Das ist äquivalent mit \( (\exists n \in \mathbb{N})(\forall m \in \mathbb{N})(x \not \in A_{n,m} \vee n > m) \). Das ist wiederum äquivalent mit \( (\exists n \in \mathbb{N})(\forall m \in \mathbb{N})(x \not \in A_{n,m}) \vee  (\exists n \in \mathbb{N})(\forall m \in \mathbb{N})(n > m) \).

Der erste Teil ist falsch aufgrund der Annahme. Der zweite Teil ist falsch aufgrund der Tatsache,d ass es keine größte natürliche Zahl gibt. Somit kann unser Satz nicht gelten und damit ist \( (\forall n \in \mathbb{N})(\exists m \in \mathbb{N}) ( m \ge n \wedge x \in A_{n,m} )\) wahr. q.e.d.

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PS. Das ganze war bisschen unnötig, denn man sieht doch direkt, dass \(m \ge n \) gelten muss... (da es keine größte natürliche Zahl gibt)

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Danke. Für die Erklärungen.

lim sup kannte ich so nicht wirklich. Da sollte jemand anders noch reinschauen.

Die ganz letzte Gleichheit "=" vor "Es geht um den Beweis der letzten Gleichung. " folgt doch direkt aus der Definition A_n+m = A _n,m . Welche "Gleichung" meinst du da denn genau?

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Deine Frage macht irgendwie wenig Sinn. Du hast eine Definition, dann verwendest du einfach eine alternative Notation durch einen Indexshift die ausreichend begründet ist. Was willst du jetzt zeigen? Im Endeffekt steht da immer noch die Definition aus der 1. Zeile....

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Yakyu, Du hast Recht wie immer :).