Nullstellen Symmetriebendingung arctan((x^3+x^2-2)/(x^2-1))

Question

$$f(x)=\quad arctan(\frac { { x }^{ 4 }{ +x }^{ 2 }-2 }{ { x }^{ 2 }-1 } )$$

Hallo

Ich soll die Nullstellen von f herausfinden und beantworten ob f eine Symmetriebedingung erfüllt.

Kann mir bitte jemand den Lösungsweg zeigen?

Danke

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Was denn nun , x³ oder x^4 ?

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x^4 ist richtig

x^3 in der Überschrift nicht

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Ich habe noch eine aufgabe zu dieser Funktion.

Ich soll das Monotonieverhalten zeigen ohne die 1. abl zu benutzen.

Wie gehe ich da vor?

Answer 1

Hi,

1. \(\arctan(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \). Also suchst du die Nullstellen des Bruchterms in der Klammer, welche es jedoch in diesem Fall nicht gibt (jedenfalls wenn wir nur im reellen Bereich bleiben).

2. Die Funktion ist offensichtlich achsensymmetrisch, betrachte dazu wieder den Bruchterm.

Gruß

Answer 2

Achsensymmetrisch bei x=0 !!

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Das f achsensymmetrisch ist hab ich verstanden.

aber warum bei x=0 ? Wie berechne ich das?

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x= 0  , Einsetzen in die Funktion -----> y= 1,1 !!

x=0 , damit wird y = 1,1 !!

An diesem Punkt ( 0I 1,1 ) ist die Funktion achsensymmetrisch .

Answer 3

Hallo

betreffs Nullstellen:

Nimm auf beiden Seiten den Tangens , dann erhältst Du:

(x^4+x^2-2)/(x^2+1)=0

Unter der Voraussetzung , das gilt: x^2+1 ist verschieden von 0 , folgt:

x^4+x^2-2 =0

Substituiere:

z= x^2

--->

z^2 +z -2=0

z_1=1

z_2=-2

Resubstituiere:

->1= x^2 ->Nullstellen sind  x= +-1

->-2=x^2 bringt komplexe Lösungen

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1.Heisst komplexe Lösung , komplexer Zahlenbereich?

Also wenn ja dann hatten wir das im Studium noch nicht.

2.Kann man ohne zu substituieren rechnerisch zeigen das der bruch keine Nullstellen besitzt?

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@GrosserLoewe: Der Nenner ist x^2 - 1 damit gibt es keine reellen Nullstellen des ganzen Bruchterms.

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Ja stimmt , sorry hatte versehentlich mit x^2+1 gerechnet.

Ja dann ist ja klar , das es keine Nullstellen gibt.

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mir ist es nicht klar. warum gibt es keine nullstellen?

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hat sich erledigt

vielen Dank