0 Daumen
1,2k Aufrufe

Kann mir das vielleicht jemand erklären :


Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in T(0/0) einen Tiefpunkt und in H(4/4) einen Hochpunkt


Avatar von

3 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in
T(0/0) einen Tiefpunkt und in H(4/4) einen Hochpunkt

f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + c * x^2 + d * x + e
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2 + 2 * c * x + d

f ( 0 ) = 0  => e = 0
f ´( 0 ) = 0  => d = 0

f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + c * x^2
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2 + 2 * c * x

f ( 4 ) = 4
f ´( 4 ) = 0

3 Unbekannte und 2 Gleichungen. Fehlt noch eine Angabe ?

Ich bin jetzt am überlegen ob man mit der Aussage Hoch- und Tiefpunkt
etwas anfangen kann.

Ich sehe gerade ich habe mich verlesen. Die Funktion ist 3.Grades.

Avatar von 123 k 🚀

f ( x ) = a * x3 + b * x2 + c * x + d
f ´( x ) = 3 * a * x2 + 2 * b * x + c

f ( 0 ) = 0  => d = 0
f ´( 0 ) = 0  => c = 0

f ( x ) = a * x3 + b * x2
f ´( x ) = 3 * a * x2 + 2 * b * x

f ( 4 ) = a * 4^3 + b * 4^2 = 4
f ´( 4 ) = 3 * a * 4^2 + 2 * b * 4 = 0

a * 64 + b * 16 = 4
a * 48 + b * 8 = 0  | * 2
96 * a + 16 * b = 0
16 * b = - 96 * a
in 1.) eingesetzt
a * 64 + ( -96 * a )  = 4
-32 * a = 4
a = - 1/8

b = 3/4

Ich bin jetzt am überlegen ob man mit der Aussage Hoch- und Tiefpunkt
etwas anfangen kann.

2. Ableitung grösser oder kleiner Null zeigt Min oder Max

wenn Null, dann Sattel

Ich bin jetzt wieder am überlegen ob man mit der
Aussage Hoch- und Tiefpunkt  etwas anfangen kann.

Alle Aussagen beziehen sich auf die fälschlicherweise angenommene
Funktion 4.Grades.

f ( 4 ) = 4
f ´( 4 ) = 0

Bezieht man noch die Angaben zum Hoch- und Tiefpunkt mit ein gilt
f ´´ ( 0 ) > 0
f ´´ ( 4 ) < 0

An Aussagen hätte man dann
( in der Reihenfolge wie oben angeführt )

256 * a + 64 * b + 16 * c = 4
256 * a + 48 * b + 8 * c = 0
2 * c > 0
192 * a + 24 * b + 2 * c < 0

Kann sich eine Lösung ergeben ?

Desweiteren : läßt sich irgendwie erschließen ob ein
Wendepunkt in der MItte von ( 0 | 0 ) ( 4 | 4 ) liegen muß ?

leichte Kurskorrektur:

$$ f(x)=ax^4+b x^3+cx^2+dx +e $$
$$ f'(x)=4ax^3+3b x^2+2cx+d $$
$$ f'(0)=0 $$$$d=0$$
$$ f'(4)=0 $$
$$ 0=4a   \cdot 4^3+3b  \cdot4^2+2c  \cdot4+0 $$

Deine letzte Zeile steht bei mir schon

256 * a + 48 * b + 8 * c = 0

"Rohware":
256 * a + 64 * b + 16 * c = 4
256 * a + 48 * b + 8 * c = 0
2 * c > 0
192 * a + 24 * b + 2 * c < 0
"veredelt":
$$   64 * a + 16 * b + 4 * c = 1$$
$$32 * a +6 * b + c = 0 $$
$$c > 0 $$
$$96 * a + 12 * b +  c < 0$$

fortsetzung folgt   ...
Desweiteren : läßt sich irgendwie erschließen ob ein
Wendepunkt in der MItte von ( 0 | 0 ) ( 4 | 4 ) liegen muß?

Natürlich, der Graph ist symmetrisch zu seinem Wendepunkt.
0 Daumen

" ganzrationalen Funktion dritten Grades

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

hat in T(0/0) einen Tiefpunkt 

f(x) = (x-0)^2 (ux + v) = ux^3 + vx^2       | Zwei Unbekannte.

f ' (x) = 3ux^2 + 2vx

und in H(4/4) einen Hochpunkt"

f '(4) = 0 = 3u*16 + 2v*4      (I)

f(4) = 4 = u*4^3 + v 4^2     (II)

Auflösen.

f '(4) = 0 = 3u*16 + 2v*4      |:8

==> 0 = 6u + v ==> v = -6u         (I')

f(4) = 4 = u*4^3 + v 4^2

1 = 16u + 4v

1 = 16u - 24u = -8u

-1/8 = u

v = 6/8 = 3/4

f(x) = -1/8 x^3 + 3/4 x^2


Avatar von 162 k 🚀
0 Daumen
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in T\((0|0)\) einen Tiefpunkt und in H\((4|4) \)einen Hochpunkt.

T\((0|0)\) Tiefpunkt → doppelte Nullstelle

\(f(x)=ax^2(x-N)=a(x^3-Nx^2)\)

\(f'(x)=a(3x^2-2Nx)\)

H\((4|...) \)einen Hochpunkt:

\(f'(4)=a(3\cdot16-8N)=0\)

\(N=6\):

\(f(x)=a(x^3-6x^2)\)

H\((4|4) \):

\(f(4)=a(64-96)=-32a=4\)

\(a=-\frac{1}{8}\)

\(f(x)=-\frac{1}{8}(x^3-6x^2)\)

Unbenannt.JPG

Avatar von 40 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community