Brauche hilfe beim Thema Äquivalenzrelation

Question

Hallo :)

Bin grad am lernen und komme nicht weiter.

Was Relation ist verstehe ich, aber ich komme mit den Bedingungen, die eine Äquivalenzrelation erfüllen muss nicht weiter.

1. Reflexivität (Alle Elemente von M sind zu sich selbst äquivalent)

2. Symmetrie (Wenn a zu b äquivalent ist, dann ist auch b zu a äquivalent)

3. Transitivität (Wenn a zu b und b zu c äquivalent ist, dann ist a äquivalent zu c)

Kann mir das bitte jemand auf dummigerechte art erklären? Also mit Symmetrie und Transitivität komme ich einigermaßen klar, nur reflexivität bereitet mir schwierigkeiten.

evtl auch anhand von Beispielen und wie man diese Theorie in der Praxis anwenden muss?

Danke schonmal :D

Answer 1

eine Äquivalenzrelation ist z.B. die Parallelität zu Geraden.

Da heißt etwa reflexiv:  Jede Gerade ist zu sich parallel. Stimmt.

symm:  wenn a parallel zu b dann ist auch b parallel zu a. Stimmt!

trans:  wenn a parallel zu b und b parallel zu c dann auch a parallel zu c

Also bei reflexiv immer nur prüfen, ob jedes Elenment der

zu untersuchenden Menge mit sich selbst in der Relation steht.

Anderes Beispiel: Gleichheit:  (etwa von nat Zahlen)

für jede Zahl gilt  a=a

wenn a=b  dann ist auch b=a 

wenn a=b und b=c dann ist auch a=c .

etc.

Comments

Soweit verstanden, danke dir :D

Jetzt versteh ich nur nicht, wie man das an mathematischen Aufgaben anwenden soll :/

Das ist jetzt zum Beispiel die Lösung einer Übungsaufgabe gewesen. Reflexivität und Transitivität habe ich verstanden, aber wie kommt man darauf, dass es symmetrisch ist?

Wenn man z.B zwei gerade Zahlen für p und q einsetzt dann stimmt die relation doch nicht mehr. Die Differenz q - p bzw. p - q wäre nicht ungerade.

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Das heißt nur: zwei gerade Zahlen können nicht in dieser Relation stehen.

symmetrisch ist die Rel. weil wenn p-q ungerade ist, dann ist auch q-p

(das ist ja das gleiche mit umgekehrtzen Vorzeichen) auch ungerade.

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Vielen Dank :D

Kannst du mir auch beim Thema Äquivalenzklassen behilflich sein?

Ich hab hier den Satz: Sei ~ Äquivalezrelation auf X. Dann gilt

1. Jedes a∈X ist in genau einer Äquivalenzklasse A⊆X enthalten

2.Für zwei Äquivalenzklassen A, A' gilt A = A' oder A ∧ A' = ∅

Punkt 2 leuchtet mir nicht ein :/ Wie können 2 Äquivalenzklassen gleich sein? Äquivalenzklassen sind doch disjunkte Teilmengen, sprich sie haben keine gemeinsamen Elemente. Oder denk ich jetzt ganz falsch

Wie kommt man darauf, dass A = A' sein muss??

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Nimm doch das Beispiel der parallelen Geraden:

Die Klasse besteht aus allen, die zueinander parallel sind.

Wenn du jetzt zwei solche Klassen hast, dann sind die

entweder alle zueinander parallel, oder die aus der einen Klasse

und die aus der anderen Klasse haben gar kein gemeinsames

Element.

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Ach ja stimmt :D hätte bisschen mehr drüber nachdenken müssen, klingt jetzt logisch...

Nochmal danke für dein Mühe