Zu der Antwort von Fepaz. Wir haben verabredet, dass wenn eine Funktion f ( x ) nicht definiert ist in x0, aber stetig ergänzbar, dass dann
f ( x0 ) := lim f ( x ) ( 1 )
x ==> x0
Meine Antwort baue ich Schritt weise auf. Zunächst werden wir zeigen
lim x ^ x = 1 ( 2a )
Dann sind aber in deiner Funktion alle Glieder x ^ ( x ^ x ) wohl definiert; und der gesuchte Grenzwert ergibt sich als Null ( Du sagst ausdrücklich, dass du den " maximalsten " Definitionsbereich bestimmen willst. )
( Die Unterscheidung zwischen Links-und Rechtslimes ist bei euch die große Mode; ich lese euch ja. Also gut - Rechtslimes; ein linksseitiger Grenzwert wäre gar nicht definiert. )
( Kleine Lektion in Topologie gefällig? Das Gegentum vom ===> Häufungspunkt ist der diskrete Punkt; für x < 0 ist deine Funktion nur für diskrete Punkte definiert. Stetige Ergänzung ist nur möglich in einem Häufungspunkt des Definitionsbereiches; ich erkläre dieses Prinzip immer mit " Auspieksen " Das Konzept des Häufungspunktes ist nämlich genau so hinterlistig definiert, dass es für die Eigenschaft " Häufungspunkt " keine Rolle spielt, ob er Element der Menge ist oder niocht. )
Wie beweist man nun ( 2a ) traditionell?
ln ( x ^ x ) = x ln ( x ) ( 2b )
Jeder Physiker weiß, dass ( 2b ) gegen ( - 0 ) geht. Allein ich blicke ja über den Tellerrand; und ständig kamen hier so Funktionen wie x ^ 123 ln ^ 4 711 ( x ) Was passiert hier eigentlich? Nun; ich überlegte mir die Substitution
z := ln ( x ) ( 2c )
x = exp ( z ) ( 2d )
x ^ k ln ^ m ( x ) = ( 2e )
= z ^ m exp ( k z ) ( 2f )
wobei jetzt z ===> ( - °° ) Und in ( 2f ) greift ein sehr allgemeines Gesetz, dem wir auch unten wieder begegnen werden: Die e-Fnktion UNTERDRÜCKT JEDES POLYNOM . Der Limes ( 2e ) ist Null.
Mal eine weitere Frage; handelt es sich bei der logaritmischen Singularität um eine Polstelle im strengen Sinne des Wortes? Siehe ( 2e ) ; setze k = m = 1 . Hätte Logaritmus einen Pol erster Ordnung, dann müsste ln ^ 4 711 ja einen Pol der Ordnung 4 711 haben; dies ist aber nicht der Fall. Bereits ein Linearfaktor reicht hin, die logaritmische Singularität zu unterdrücken ( k = 1 ; m = 4 711 ) ( Hier verhält es sich umgekehrt; jedes Polynom noch so niedriger Ordnung unterdrückt die logaritmische Singularität. )
Diese scheinbare Paradoxie löst sich sofort auf, wernn du bedenkst, dass bei einer wirklichen Polstelle n-ter Ordnung ===> außerwesentliche Singularität dieser Grenzwert im Gegensatz zu ( 2e ) gerade NICHT Null sein darf.
Aufg3) ; nein auch hier unterwerfe ich mich nicht. Ich kann euch nur raten; sollte sich die Technik der impliziten Funktionen wirklich noch nicht herum gesprochen haben? Jetzt stell das alles erst mal um, dass das rein äußerlich nach was aussieht.
x cos ( y ) = 1 ( 3a )
Die Antwort auf Frage 3a) Da ja die Betragsungleichung gilt
| cos ( y ) | < = 1 ( 3b )
hast du auch umgekehrt für den Definitionsbereich
| x | > = 1 ( 3c )
Das sind zwei unzusammenhängende Intervalle.
Auf Unterpunkt 3b) lasse ich mich bestimmt nicht ein; die Technik des ===> impliziten Differenzierens ( ID ) solltet ihr so weit drauf haben. Dann folgt mittels Produkt-und Kettenregel aus ( 3a )
cos ( y ) - x y ' sin ( y ) = 0 ( 4a )
y ' = ctg ( y ) / x ( 4b )
An sich ist ja der Wertebereich der arccos-Funktion das Intervall
0 < = y < = Pi ( 5 )
Dies wird jetzt wichtig wegen der Vorzeichen. Das Vorzeichen des Kosinusterms haben wir ja schon in ( 3a ) ermittelt; aus ( 5 ) folgt nun ferner, dass der Sinus nie negativ ist. Aufpassen müssen wir genau an den Randpunkten x = +/- 1 , weil da die Ableitung ( 4b ) singulär wird - was ist da los? Zunächst mal setzen wir uns darüber hinweg mit einem merkwürdigen Lehrsatz ( dessen Umkehrung nur Wenige kennen dürften. )
Satz 1 ( monotone Funktionen )
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Eine Funktion y = f ( x ) ist streng monoton wachsend auf dem Intervall J <===> Die Ableitung f ' ( x ) > 0 existiert f.ü.
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Bitte überzeuge dich nochmal, dass in ( 4b ) echt gilt y ' > 0 höchstens mit Ausnahme dieser beiden Randpunkte ( Dort brauchte die Ableitung gar nicht definiert sein. )
An sich kriegen wir sogar noch mehr; denn die Umkehrfunktion von ( 3a )
x = 1 / cos ( y ) ( 6 )
hat in diesen kritischen Punkten eine horizontale Tangente ( Das wird deine Eigenleistung oder Hausaufgabe. ) so dass y = f ( x ) zwar nicht differenzierbar ist, aber die Tangente an diesen Stellen wohl definiert ist - sie verläuft bloß vertikal.
Zu 3c) Es dürfte nunmehr klar geworden sein, dass als absolute Extrema nur diese beiden kritischen Randpunkte in Frage kommen.
f ( +/- °° ) = Pi/2 ( 7a )
f ( - 1 ) = Pi ( 7b )
f ( 1 ) = 0 ( 7c )
Damit erweist sich ( + 1 ) als das Minimum so wie ( - 1 ) als das Maximum.
Jetzt Aufg 4a ) Für x ===> ( + °° ) ergibt sich der Krankenhausfall ( °° ) / ( °° )
x ³
lim ------------------------- = 3 lim x ² exp ( - x ) ( 8 )
exp ( x ) - 1
Und? Erinnerst du dich? Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom.
Aber zu dem Grenzwert bei x = 0 muss ich etwas Grundsätzliches bemerken. Bei einem Polynom würdest du nicht zögern, eine 3-fache Nullstelle zu diagnostizieren - selbst bei einer gebrochen rationalen Funktion würdest du damit noch richtig liegen. Aber wer weiß denn so genau, was alles sich bei einer ===> transzendenten Funktion weg kürzt? Deshalb folgt erst mal die Definition von Vielfachheit.
Definition 1
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Eine Funktion y = f ( x ) heiße vom Typ ( x0 ; n ) , wenn sie in einer ( offenen ) Umgebung von x0 n_Mal differenzierbar ist .
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