Quadratische ergänzung zu scheitelpunktform rechenweg

Question

Hallo ich bin Grad am rechnen und habe eine sache nicht ganz verstanden

3 x^2 +5x +2

3 (x^2 + 5/3x ) + 2

3 (x^2 + 5/3x +25/36 -25/36) +2

Bis dahin bin ich gekommen denn man muss 5/3 erst halbieren und dann quadradieren ,um auf 25/36 zu kommen ja und dann halt addieren und wieder abziehen ... so ab jetzt bin ich nicht mehr mitgekommen :

3 (x^2+5/3x +25/36 ) +2 -25/12

Wieso steht da denn immernoch 25/36 wurde es nicht aufgelöst  ( + - =0 ,oder) und wie kommt man auf die -25/12?

Jetzt geht es weiter :

3 (x +5/6 )^2 - 1/12

Das habe ich nicht ganz verstanden könnt ihr mir es Bitte erklären , wie man das am Ende herausfindet ?

Comments

+25/36 -25/36

Das wäre ziemlich witzlos wenn du es jetzt wieder gegenrechnest und 0 draus machst denn du hast ja vorher als einer 0 die quadratische Ergänzung gezaubert.

Der Negative Term wird aus der Klammer ausgeklammert. 

Ich habe es mal so hingeschrieben wie ich es rechnen würde.

Schau mal ob du damit klar kommst.

Answer 1

3·x^2 + 5·x + 2

3·(x^2 + 5/3·x) + 2

3·(x^2 + 5/3·x + (5/6)^2 - (5/6)^2) + 2

3·(x^2 + 5/3·x + (5/6)^2) + 2 - 3·(5/6)^2

3·(x + 5/6)^2 - 1/12

Comments

Verstehe ich nicht, wie kommst du auf die 5/6?

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Die hälfte von 5/3 sind 5/6. Ich spare mir nur das quadrieren erstmal und schreibe nur ein Quadrat an den Term.

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Ok , darf man das also so machen ?

3·(x² + 5/3·x + (5/6)²) + 2 - 3·(5/6)²

3·(x² + 5/6)² - 1/12 

Hier bin ich nicht mehr so richtig mitbekommen könntest du bitte alles Schritt für Schritt erklären also warum du genau so drauf gekommen bist (sorry , dass ich so nerve )

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Was hast du nicht verstanden ?

Wie man die binomische Formel umwandelt oder wie man den Restterm berechnet ?

2 - 3·(5/6)^2
= 2 - 3·25/36
= 2 - 25/12
= 24/12 - 25/12
= - 1/12

oder

x^2 + 5/3·x + (5/6)^2
x^2 + 2·5/6·x + (5/6)^2
(x - 5/6)^2

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f(x) = -10x² + 160x - 100

Zuerst klammerst du den Faktor vor dem x² aus:
f(x) = -10 * (x² - 16x) - 100

Dann ergänzt du innerhalb der Klammer, so dass du eine binomische Formel anwenden kannst. (Das Quadrat von der Hälfte von dem, was vor dem x steht):
f(x) = -10 * (x² - 16x + 8² - 8²) - 100

Nun ziehst du die störenden -8² aus der Klammer und kannst die bin. Formel anwenden:
f(x) = -10 * (x - 8 )² + 540

...und erhältst die Scheitelpunktform

Ist diese Erklärung richtig ?  ,die habe ich verstanden 

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Ja das ist richtig. Und wenn du das mit ganzen Zahlen verstehst dann ist das mit Brüchen doch auch nicht viel anders.

Answer 2

3 (x² + 5/3x +25/36 -25/36) +2

wurde von

3 (x² + 5/3x + 0) + 2

abgeleitet.

Um in der Klammer einen quadratischen Ausdruck zu erhalten, wurde -25/36 aus der Klammer herausgenommen. Da alle Werte in der Klamme mit 3 zu multiplizieren sind, musst du die -25/36 mit 3 multiplizieren damit der Wert gleichbleibt.

3 (x² + 5/3x +25/36) -25/36*3 +2

Nun machst du aus dem Ausdruck in der Klammer die Form (a + b)^2 und kürzt -25/36*3 = -25*3/36 = -25/12.

3 (x +5/6 )² - 25/12 +2

-25/12 = -(2+1/2)

3 (x +5/6 )² -2 -1/2 +2

Somit erhältst du: 3 (x +5/6 )² - 1/12

Comments

 -25/36*3 = -25*3/36 = -25/12.Was hast du da gemacht ? Erst 36 mal 3 genommen und dann 25 mal 3 genommen ?

3 (x +5/6 )² - 25/12 +2

Und woher kommt die 5/6 ?

-25/12 = -(2+1/2)

Wieso haben sich die seiten gewechselt? (2+1/2) wie bist du da drauf gekommen ?

3 (x +5/6 )² -2 -1/2 +2

Verstehe ich nicht ganz ...

Können wir nochmal ein anderes Beispiel nehmen ? Und du mir es Bitte Schritt für Schritt erklären kannst ?

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Das Ende sollte wie folgt lauten:

Nun machst du aus dem Ausdruck in der Klammer die Form (a + b)² und kürzt -25/36*3 = -25*3/36 = -25/12.

3 (x +5/6 )² - 25/12 +2

-25/12 = -(2+1/12) = -2 -1/12

3 (x +5/6 )² -2 -1/12 +2

Somit erhältst du: 3 (x +5/6 )² - 1/12

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Die -25/36*3 habe ich nur umgestellt zu -25*3/36 = -25*1/12 = -25/12

(bei Punktrechnung kannst du die Faktoren vertauschen)

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3 (x² + 5/3x +25/36 -25/36) +2 

wurde von

3 (x² + 5/3x +0) + 2

3 ( x² + 5/3x +(25/36 -25/36) ) +2   /* (25/36 - 25/36) ergibt die 0 */

abgeleitet.

Das hast du ja korrekt gemacht.

3 ( x² + 5/3x +25/36 -25/36 ) +2

Ziel ist eine Form wie: (a + b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)

Ziel ist somit: (x + (5/6)^2 = (x^2 + 2*(5/6) +(5/6)^2)

Gilt für unten:

Um in der Klammer einen quadratischen Ausdruck zu erhalten, wurde -25/36 aus der Klammer herausgenommen. Da alle Werte in der Klamme mit 3 zu multiplizieren sind, musst du die -25/36, die du aus der Klammer nimmst, mit 3 multiplizieren damit der Wert gleichbleibt, also -25/36*3.

Die 5/3x kannst du wie folgt erweitern: 5/3x = 2 * (5/3x) = 2*5/6x = 2*(5/6x)

Die Quadratwurzel von x^2 = x

Die Quadratwurzel von 25/36 = Quadratwurzel von 5^2/6^2 = 5/6

3 (x² + 5/3x +25/36) -25/36*3 +2

= 3 (x² + 2*(5/6x) +25/36) -25/12*3 +2

= 3 (x² + 2*(5/6x) +(5/6)^2) -25/12*3 +2

Nun machst du aus dem Ausdruck in der Klammer die Form (a + b)² also (x + 5/6)^2 

und

kürzt -25/12*3 = - 25*3/36 = - 25*1/12 = - 25/12. (nur Punktrechnung: daher kannst du die Faktoren vertauschen = um besser das Kürzen der 3 mit 36 zu sehen) 

3 (x +5/6 )² -25/12  +2

-25/12 = -(2+1/12)

3 (x +5/6 )² -2 -1/12 +2

Somit erhältst du: 3 (x +5/6 )² - 1/12

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Jetzt lass ich*s bald:

noch ein Fehler:

Die 5/3x kannst du wie folgt erweitern: 5/3x = 2 * (5/3x) = 2*5/6x = 2*(5/6x) 

sollte lauten:

Die 5/3x kannst du mit der 2 wie folgt erweitern: 5/3x = 2*5/(2*3x) = 2*5/6x = 2*(5/6x)