f(x)=lim(n->unendl.) (x^{n+1}+ax^2)/(x^n+2) x element (-1,unendl.)

Question

Sei

$$f(x)=\quad \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { { x }^{ n+1 }+{ ax }^{ 2 } }{ { x }^{ n }+2 } \quad \quad \quad \quad x\quad \in \quad (-1,\infty )$$

im Punkt x = 1 stetig. Berechnen sie a.

Kann mir bitte jemand die Lösung zeigen?

Vielen Dank

Answer 1

Hi,

nach dem Kommentar von Gast3n0cy6o denke ich nun schon, dass die Aufgabe so gemeint ist wie sie vorliegt. Eine Fallunterscheidung wäre trotzdem angebracht:

Für \(x > 1\) ist \( f(x) = x \).

Für \( x = 1 \) ist \(f(x) = \frac{1+a}{3}\).

Für \(-1 < x <1 \) ist \(f(x) = \frac{a}{2}x^2\)

Durch vergleichen von links- und rechtsseitigem Grenzwert und dem Funktionswert an der Stelle ist die Funktion also für \(a = 2\) bei \(x=1\) stetig.

Gruß

Comments

Für x>1 ist f(x)=1.

muss heißen :  ... ist  f(x) = x

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Ups danke hatte mich verschrieben. Wird korrigiert.

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Vielen Dank für all eure Hilfe.

Ich denke ich konnte eure Schritte nachvollziehen.

Answer 2

- Gemeint ist sicherlich in x=-1 stetig.

- Die Formulierung der Aufgabe ist grausig, mein Beileid für den Aufgabensteller.  Die Konstruktion "Sei ..." wird verwendet für Defintionen bzw. der Einführung von Schreibweisen. Was hier gemacht wird ist eine Annahme (und das auch noch unnötigerweise).

Berechne a so, dass f(x):= ... stetig bei x=-1 ist  wäre weniger sinnentstellend (wenn auch noch kein wirklich schönes deutsch.)

Der Term im Limes nimmt im Fall n=gerade, x=-1 den Wert ((-1)+a)/(-1+2)=a-1 an, im Fall n=ungerade, x=-1

den Wert (1-a)/(1+2)= (1-a)/3.

Damit der Limes existiert müssen die beiden Werte übereinstimmen, also a-1=(1-a)/3, demnach a=1.

Comments

Hi,

du hast dich leider bei beiden Fällen vertan. Es müsste \( a = -2\) als Bedingung für die Stetigkeit bei \( x= -1\) nach deiner Vorgehensweise herauskommen.

Edit: Ich hab es mal vorsichtiger ausgedrückt da ich selbst noch nicht sehe warum daraus die Stetigkeit folgen sollte, für mich sieht das eher nach der Bedingung dafür aus, dass \(f(x)\) an der Stelle \(x=-1\) definiert ist.

Danke @Gast3n0cy6o fürs aufwecken :).

Gruß

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Erstens geht es überhaupt nicht darum und zweitens fehlt der Nachweis für das was ihr eventuell zeigen zu müssen meint.

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@Yakyu: Da es ein Randpunkt ist, folgt es dem Umstand, dass der Punkt definiert ist bereits die Stetigkeit.

Du könntest mit deiner Interpretation durchaus recht haben

Ich sehe allerdings nicht wie du bei mir auf a=-2 kommst.

@Gast über mir: Häh?

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Ist \(n\) gerade so kommt als Grenzwert \(\frac{-1+a}{3} \) heraus und im Falle \(n\) ungerade \(1+a\) für \(x=-1\).

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@Gast über mir: Häh?

Sich über die Stetigkeit einer Funktion außerhalb ihres Definitionsbereiches Gedanken zu machen grenzt an Wahnsinn.

Allenfalls wäre folgende Fragestellung sinnvoll sinnvoll :

Wie müssen a und b gewählt werden, so dass die Funktion g definiert durch  g(x) = f(x) für  x∈D_f 
und  g(-1) = b   an der Stelle  x = -1  rechtsseitig stetig ist ?

(Dass es überhaupt so ein b gibt und welches sein Wert ist habt ihr noch nicht einmal diskutiert.)

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Kein Problem. Stehe aber immer noch ein wenig auf dem Schlauch

 Da es ein Randpunkt ist, folgt es dem Umstand, dass der Punkt definiert ist bereits die Stetigkeit.

Gut wir hätten damit zwar gezeigt, dass die Funktion an dieser Stelle definiert werden kann und der Definitionsbereich somit erweitert werden kann allerdings folgt damit doch nicht automatisch eine rechtsseitige stetige Ergänzung (wie der Gast über mir ja auch beschreibt ziehen man dabei den Verlauf der Funktion gar nicht in betracht)? Wenn der Definitionsbereich nun nur \((-1,1) \) wäre, so wäre für \(a=-2\) die Funktion \(f(x)\) ja auch bei \(x=1\) definierbar, allerdings dort nicht linksseitig stetig.