Bestimmen sie Normalen- und Koordinatenform derjenigen Ebene E, die den Punkt Q = (1/1/1) enthält und sowohl auf der Ebene E1: p1 = (1/4/5) , n =(1/-1/0) als auch auf der EbeneE2: p2 = (-2/5/5) , n = (2,3,1)senkrecht steht
Wie geht man hier vor?
[1, -1, 0] ⨯ [2, 3, 1] = [-1, -1, 5] = - [1, 1, -5]
Normalenform: (X - [1, 1, 1]) * [1, 1, -5] = 0
Koordinatenform: X * [1, 1, -5] = [1, 1, 1] * [1, 1, -5] --> x + y - 5·z = -3
hey vielen danke für die schnelle Antwort :D
soweit so gut also bildet man das kreuzprodukt der beiden Normalenvektoren der gegebenen Ebenen somit erhalte ich den Vektor der Orthogonal auf den beiden gegebenen Ebenen liegt aber warum vertauscht man danach die Vorzeichen?
und ich hab zu der Aufgabenstellung noch eine frage... diese Aufgabe kann man doch nur lösen wenn die beiden gegebenen Ebenen parallel sind oder? Weil ansonsten gibt es ja keinen Vektor der senkrecht auf beiden steht..? oder lieg ich da falsch..?
Ich brauche nur einen senkrechten Vektor. Damit darf ich das erhaltene Kreuzprodukt beliebig multiplizieren oder teilen. Ich kehre die Vorzeichen um damit die erste Zahl ein positives Vorzeichen hat. Das sieht in der Koordinatenvorm besser aus als wenn man gleich mit einem Minus beginnt.
Die gegebenen Eben sind hier nicht parallel. Wenn sie parallel wären dann bräuchte ich auch kein Kreuzprodukt bilden. Dann wäre jede Ebene die zur ersten Ebene Senkrecht ist auch automatisch zur zweiten Ebene senkrecht.
Alles klar :) vielen Dank Mathecoach!!!!! :D
wie kommt man bei der Koordinatenform auf die -3 am Ende?
Das ist das Resultat des Skalarprodukts rechts vom Gleichheitszeichen:
$$\begin{pmatrix}1& 1& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 1& -5\end{pmatrix}^T = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-5) = -3$$
Super vielen Dank für die schnelle Antwort :)
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