was ist die ableitung von e^-x?

Question

Was ist die Ableitung der Funktion e^-x?

Das Ergebnis müsste sein -e^-x. Aber wie komme ich darauf bzw. was ist nicht richtig.

Ich wende die Kettenregel an y = g´(h(x) *h`             e = g und -x =h

d.h.

h = e, h´= e;

g=h^-x , g`= -h

y = g´(h(x) *h`

Answer 1

das ist ja ein Durcheinander. Ich schreib's dir mal vernünftig auf. Schau es dir in Ruhe an und versuche es nachzuvollziehen.

$$ y(x) = e^{-x} =g(h(x))$$

$$ g(x) = e^x, \quad h(x) = -x $$

$$ g'(x) = e^x, \quad h'(x) = -1 $$

$$ y'(x) =g'(h(x)) \cdot h'(x) = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x} $$

Gruß

Comments

Hi warum ist g(x) = e^x ????

ist g(x) nicht nur einfach e?

Gruß

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Nein, dann wäre g(x) ja einfach nur eine konstante Funktion und insbesondere nicht mehr von x abhängig. Damit würde h(x) bei g(h(x)) ja keine Rolle spielen.

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Ist e nicht die äußere Ableitung und -x die innere  sprich ich leite erst einzeln  e ab und dann einzeln -x ???

Hast du vielleicht ein einfacheres Beispiel?

Danke

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Du scheinst das mit der Verkettung (daher auch der Name Kettenregel) von Funktionen noch nicht ganz verstanden zu haben.

Anderes Beispiel:

Nehmen wir mal die Funktion \(f(x) = \sin(3x+2)\).

Wir können die Funktion als Verkettung zweier Funktionen darstellen, nämlich der Sinusfunktion, und das was in der Klammer steht. Ich nehme mal extra andere Buchstaben:

\(g(z) = \sin(z)\) und \(h(x) = 3x+2\).

Dann ist \(g(h(x)) = \sin(h(x)) = \sin(3x+2) = f(x)\). Das heißt wir ersetzen dass \(z\) mit \(h(x)\).

Mit den Ableitungen \(g'(z) = \cos(z)\) und \(h'(x) = 3\) erhalten wir nun mit der Kettenregel die Ableitung der Funktion \(f\):

$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h(x) = \cos(h(x)) \cdot 3 = 3\cos(3x+2) $$

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Puh jetzt hab ichs auch. Einfach zu spät :-) vielen Dank

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Kein Thema, sehr gerne :)