Question

Warum sind Betrag und Wurzel von x nicht differenzierbar? Wenn ich die Funktionen in ein Matheprogramm eingebe, spuckt es die Ableitungen aus und auch händisch lassen sie sich ableiten.... Könnt ihr mir bitte sagen, wo mein Denkfehler liegt?

Comments

Hast du dir schon durchgelesen? Da wird es meiner Meinung nach eigentlich so ziemlich auf den Punkt gebracht.

https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit#Beispiele_f.C3.BCr_nicht_differenzierbare_Funktionen

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Ausserdem ist es auch nicht so, dass Betrag und Wurzel generell nicht differenzierbar waeren. Ausser im Nullpunkt sind beide ueberall wo sie definiert sind auch differenzierbar.

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Wobei allerdings die Aussage "\(f(x) = \sqrt{x} \) ist nicht differenzierbar" nach der gängigen Definition

"Eine Funktion f(x) heißt differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereich differenzierbar ist."

schon vom Fragesteller richtig formuliert wurde. Analog \(f(x) = |x|\).

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Differenzierbarkeit ist erst mal punktweise definiert. Eine Funktion heisst weiter auf einer (beliebigen) Menge differenzierbar, wenn sie für alle Punkte aus dieser Menge differenzierbar ist. Funktionen haben keinen "natuerlichen" Definitionsbereich. Wenn ich einfach f(x) hinschreibe, dann hab ich dazu schon gar nichts gesagt -- was Deine Definition ziemlich entwertet. Die ist auch nicht gaenig. Sieht man schon daran, dass für \(f(x)=\sqrt{x}\) als Ableitung \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) rauskommt. Da kann man ja einfach nicht sagen, die Wurzelfunktion waere nicht differenzierbar, wenn man die Ableitung sogar einfach hinschreiben kann.

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Gut du hast Recht, dass die fehlende Angabe des Definitionsbereich, aufgrund der Annahme, dass dieser als bekannt vorausgesetzt wird, in diesem Fall schlampig ist. Was ich meinte:

$$ f: [0, \infty) \to [0, \infty), x \mapsto \sqrt{x}  \text{ ist nicht differenzierbar}$$

Klar ist das in diesem Fall irreführend da die Funktion für \((0,\infty) \) ja diffbar ist, allerdings ist sie streng genommen nach der obigen Definition (wie ich sie auch gelernt habe) trotzdem wahr.

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Du kannst sagen: Die Wurzelfunktion ist auf \([0,\infty)\) nicht differenzierbar, d'accord. Aber Du kannst nicht einfach sagen: Die Wurzelfunktion ist nicht differenzierbar. Es gibt nur Differenzierbarkeit in einem Punkt oder auf einer Menge. Wobei die Menge nur insofern was mit dem Definitionsbereich zu tun hat, als sie natuerlich Teilmenge desselben sein muss.

Im zur Diskussion stehenden Fall sagt man klipp und klar: Die Wurzelfunktion ist im Nullpunkt nicht differenzierbar.

Answer 1

Die Wurzelfunktion hat im Ursprung einen unendlich steilen Anstieg. Weißt du, wie man sie ableitet?



     f  (  x  )  :=   x  ^  1/2    (  1a  )
   
     f  '  (  x  )  =  (  1/2  )  x  ^  (  -  1/2  )   (  1b  )


    Diese allgemeine Regel kennst du:

" Die Hochzahl kommt runter; und oben wird Eins abgezogen. "

D.h. aber im Ursprung wird auf einmal durch Null dividiert.

Man muss da sorgfältig unterscheiden; die ABLEITUNG divergiert zwar. Trotzdem existiert eine Tangente; und zwar x = 0 . Wäre es dir con Nutzen, wenn ich dir das vor rechne? Ich will dich jetzt nicht zutexten.

Dagegen die Betragsfunktion sieht doch aus wie ein V . Da ergäbe die Tangentensteigung von Links = Minus Eins und von Rechts gleich Plus Eins.  Bei der Bildung des Grenzwerts ist ganz ganz wichtig, dass da immer das Selbe raus kommt egal, mit welchen Tricks du den berechnest. Eine derartige Zweideutigkeit geht also schon mal gar nicht.

Auf weitere Fragen gehe ich natürlich gerne ein.