vollständige Induktion, Beweis. T0: x->1; x€R und T1: x->x; x€R

Question

Ich soll durch vollständige Induktion beweisen, dass ....
Aufgabenstellung siehe Anhang

Es wäre echt nett, wenn mir hier kurzfristig jemand helfen könnte. Ich stehe etwas auf dem Schlauch. Danke.

Comments

Kann man das mal nach Aufgaben getrennt machen. Also Gamma und Delta. Denn ich blicke das noch nicht so richtig.
Ich fang mal mit der Aufgabe delta an:
Ind.vorr.:
Grad Tk(1)=1 und Grad Tk(-1)= -1

Habe ich das richtig verstanden, ich kann diese Aufgabe dadurch beweisen, wenn ich in die Formel: Tn+1(x) = 2x*/n(x)-Tn-1(x) einmal 1 und einmal -1 einsetze?

Answer 1

Ind. vor:
Die Formel gilt für alle  k aus N bis zu einem n  , also grad(T_k) = k für alle k ≤n
Dann ist
T_n+1 (x)=  2x * T_n(x)  - T _n-1 (x)     Dann hat   2x * Tn(x) den grad n+1 und   T _n-1 (x)    den grad n-1.
Dann wird bei der Differenz der höchste Koeffizient von   2x * Tn(x) nicht verändert, also hat das
Ergebnis den grad n+1.                 q.e.d

beta:   Annahme ist wohl klar .
Ind.vor: Sei für alle k aus N bis n gültigt  Tk(1) = 1 und Tk(-1) = (-1)^k
Dann ist
T _n+1(1) = 2*1 * T_n(1) -  T_n-1(1) =  = 2 * 1 * 1 - 1 = 1   q.e.d.

ebenso bie -1:  ..............

T _n+1(1) = 2*(-1) *(-1)^n -  (-1)^n-1      und für gerades n gibt das

= 2 *(- 1) * 1 - (-1)     denn n-1 ist dann ja ungerade

= -2 +1   = -1  =  (-1)ⁿ⁺¹   denn  n+1 ist auch ungerade

für ungerades n

=  2 *(- 1) *(- 1) - (+1)   denn n-1 ist dann ja gerade

=  2  -  1   =  1   =  (-1)ⁿ⁺¹     denn n+1 ist dann ja gerade .

Comments

Auf welche Aufgabe (erste oder zweite) beziehst du dich jetzt?

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Kann man das mal nach Aufgaben getrennt machen. Also Gamma und Delta. Denn ich blicke das noch nicht so richtig.
Ich fang mal mit der Aufgabe delta an:
Ind.vorr.:
Grad Tk(1)=1 und Grad Tk(-1)= -1

Habe ich das richtig verstanden, ich kann diese Aufgabe dadurch beweisen, wenn ich in die Formel: Tn+1(x) = 2x*/n(x)-Tn-1(x) einmal 1 und einmal -1 einsetze?