Maximalstelle bestimmen (e-Funktion) f(x) = e^{x^3/3 + x^2/2 - 2x}

Question

Auf dem Intervall (-5,5).

Ich habe zunächst die erste Ableitung gebildet und die Extremstellen bestimmt; -2 und 1.

1. Abl.: x^2+x-2*e^...

Da die zweite Ableitung zu bilden relativ zeitaufwändig wäre, habe ich die 0 (also zwischen -2,1) eingesetzt und einen negativen Wert erhalten (e^0 =1, der Teil vor der Klammer = -2). Also fällt der Graph zwischen -2,1; somit kann die Maximalstelle nur bei -2 liegen [setzt man -3 in die 1. Abl ein, ergibt sich ein positiver Wert -> monoton steigend -> HP bei -2].

Nun wollte ich wissen, ob man bei jeder Funktion nach diesem Prinzip vorgehen kann.

Wenn man nun eine Funktion hat wie ln(x^3+2x^2) [Intervall -2,undendlich]  und die erste Ableitung bildet, liegen die Nullstellen bei 0 und -4/3; da nun aber auch eine gebrochene Funktion vorliegt, würde die Ableitung bei x=-2 und 0 nicht "existieren" (a/0!). Müsste man diese Punkte nun in die "Untersuchung" miteinbeziehen? In diesem Fall wäre das ja kein Problem, da -2 nicht mehr im Intervall liegt und 0 mit der eh schon zu untersuchenden Extremstelle übereinstimmt...

Kann so eine "Lücke" auch bei einer nichtgebrochenen Funktion auftreten? Oder kann man in diesem Fall immer nach dem Schema der erstgenannten Funktion vorgehen. Ohne "Lücke" dürfte sich das Steigungsverhalten zwischen Extremstellen nicht ändern, oder?

Answer 1

Wenn man nun eine Funktion hat wie ln(x³+2x²) [Intervall -2,undendlich]  und die erste Ableitung bildet, liegen die Nullstellen bei 0 und -4/3; da nun aber auch eine

Die ln-Funktion ist nur für Werte > 0 definiert.

Bei x = 0 ergäbe es ln(o), das gibt es aber nicht.

Also ist nur die Stelle  -4/3 interessant.

Da kannst du ja von links und rechts auch mit -1 und -5/3 arbeiten, damit du im Definitionsbereich bleibst.

Comments

Danke schonmal für die Hilfe.

Sind meine anderen "grundsätzlichen" Überlegungen so weit richtig?

Answer 2

0 liegt nicht im Definitionsbereich der ln(...)-Funktion, ist also auch keine "zu untersuchende Extremstelle".

Allgemein gilt, dass f' das Vorzeichen auch an Definitionslücken wechseln kann.

Die Intervalle für die Untersuchung des Vorzeichens von f' ergeben sich (innerhalb von D) also aus den Nullstellen von f' und den Definitionslücken (und ggf. den Randstellen von Intervallen, die nicht in D liegen). 

Comments

Definitionslücke kann aber keine Extremstelle sein, da eine Extremstelle

per def. im Definitionsbereich liegen muss. Vorzeichenwechsel der

Ableitung ist dann eher unwesentlich.