Zwei Reihen auf Konvergenz prüfen n/(n+1) und 1/(n²)

Question

Hi,

bekomme die zwei Reihen derzeit nicht wirklich auf Konvergenz/Divergenz gelöst.

$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { n }{ n+1 }  } \quad und\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }  } $$

Bei 1/n² weiß ich, dass es sich um das "Basler Problem" handelt, und der Reihenwert (π²)/6 ist, aber weiß nicht, ob ich es einfach so in der Klausur verwenden dürfte.

Bei n/(n+1) reicht es doch aus, wenn ich sag, dass es keine Nullfolge ist => Reihe divergiert?

Gruß, danke

Answer 1

also zur ersten Reihe: Dein Argument passt. Da \(a_n := \frac{n}{n+1} \) keine Nullfolge ist kann die Reihe nicht konvergieren.

Zur zweiten Reihe: Das ist ein absoluter Klassiker, wird der nicht in jeder Vorlesung bewiesen? Da gibt es reichlich verschiedene Methoden, hier auf dieser Seite wurde das bestimmt auch schon mal gemacht.

Um mal 3 Methoden zu nennen:

Cauchy-Verdichtungskritierium

Integralkriterium

Oder besonders schön find ich persönlich über die Abschätzung:

$$ \sum_{n=1}^m \frac{1}{n^2} \leq 1 + \sum_{n=2}^m \frac{1}{n(n-1)} $$

Gruß

Comments

Jep, der Klassiker kommt in vielen Altklausuren bei mir dran :D

Cauchy-Verdichtungskriterium sagt mir leider nichts, aber Integralkriterium war ein gutes Stichwort.

Danke für die Hilfe.

Answer 2

Ja, bei der ersten Reihe kannst du sagen, dass \(\left(\frac{n}{n+1}\right)\) keine Nullfolge ist und deswegen die Reihe nicht konvergiert.
Zur zweiten Reihe: Kennst du das Verdichtungskriterium von Cauchy?

Comments

Cauchy-Verdichtungskriterium sagt mir leider nichts, aber Yakyu hat ein mir bekanntes Kriterium genannt. 

Danke auch dir für die Hilfe.