Ermitteln Sie Länge, Breite und Höhe für eine Verpackung, die mit minimalem Materialaufwand auskommt

Question

Die Konkurrenz von Apu lässt ebenfalls eine 1-Liter-Milchtüte herstellen und behauptet, dass auch seine Milchtüte umweltfreundlich ist und mit minimalem Materialverbrauch hergestellt wurde. Allerdings sind diese Milchtüten 1,5-fach so lang wie breit. Die Breite der Klebefalze beträgt 0,1 a.

Ermitteln Sie die Länge, die Breite und die Höhe für eine solche Verpackung, welche mit minimalem Materialaufwand auskommt!

Comments

Es geht um eine Optimierungsaufgabe Volumen vs. Umfangsfläche.

Volumen ist fix.

Formel für Quaderfläche schon gefunden?

Answer 1

Volumen

V = a·b·h

mit b = 1.5·a

V = a·(1.5·a)·h = 1.5·a^2·h = 1000 cm³ --> h = 2000/(3·a^2)

Verpackungsmaterial

A = (b/2 + a + b + a + b/2 + 0.1·a)·(0.1·a + a/2 + h + a/2 + 0.1·a) = 2.52·a^2 +2.4·a·b + 2.1·a·h + 2·b·h

mit b = 1.5·a

A = 2.52·a^2 +2.4·a·(1.5·a) + 2.1·a·h + 2·(1.5·a)·h = 6.12·a^2 + 5.1·a·h

A = 6.12·a^2 + 5.1·a·h = 6.12·a^2 + 5.1·a·(2000/(3·a^2)) = 6.12·a^2 + 3400/a

A' = 12.24·a - 3400/a^2 = 0 --> a = 5/3·60^{1/3} = 6.525 cm

b = 1.5·a = 1.5·(6.525) = 9.788 cm

h = 2000/(3·a^2) = 2000/(3·(6.525)^2) = 15.66 cm

Comments

Warum h = 2000/(3·a²)  anstatt h=1000/(1,5*a²) ?

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Deins geht auch. In Brüchen kürzt und erweitert man meist, sodass eben gerade keine Dezimalzahlen mehr auftreten.

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ok Danke und wie kommst du auf 2.52·a² +2.4·a·b + 2.1·a·h + 2·b·h  . Wie kommt da 2,52 und 2,4.... raus?

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A = (b/2 + a + b + a + b/2 + 0.1·a)·(0.1·a + a/2 + h + a/2 + 0.1·a)

Kannst du das wie folgt zusammenfassen ?

A = (2.1a + 2b)·(1.2·a + h)

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Kommt jetzt zusammengefasst am ende  (2.1a + 2b)·(1.2·a + h) .....Mit welchem Gesetz hast du die Klammer aufgelöst weshalb man 2+1,2 machen muss

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(2.1a + 2b)·(1.2a + h) = 2.1a*1.2a + 2.1a*h + 2b*1.2a + 2b*h

Hast du da solche extreme Schwierigkeiten? Dann rate ich das zu üben: https://www.matheretter.de/wiki/distributivgesetz

5.1·a·(2000/(3·a^2))
a kürzen

5.1·(2000/(3·a)) = 3400 * 1/a = 3400/a


Du musst die Gleichung 12.24·a - 3400/a^2 = 0 nach a auflösen.

Zuanfang mit a^2 multiplizieren und dann direkt nach a auflösen.

12.24·a - 3400/a^2 = 0 

12.24·a^3 - 3400 = 0
12.24·a^3 = 3400
a^3 = (3400/12.24)
a = (3400/12.24)^{1/3}

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Hast du hier die Umkehrfunktion benutzt?

(3400/12.24)^1/3 → a = 5/3·60^1/3

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Das brauchst du nicht machen. Es langt wenn du es dezimal hinschreibst. Die Wurzel würde so schöner gemacht werden:

(3400/12.24)^1/3

= (2500/9)^{1/3}

= (2^2*5^4/3^2)^{1/3}

= 5/3 * (2^2*3^3*5^4/(3^2*5^3))^{1/3}

= 5/3 * (2^2*3*5)^{1/3}

= 5/3 * (60)^{1/3}