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Die Konkurrenz von Apu lässt ebenfalls eine 1-Liter-Milchtüte herstellen und behauptet, dass auch seine Milchtüte umweltfreundlich ist und mit minimalem Materialverbrauch hergestellt wurde. Allerdings sind diese Milchtüten 1,5-fach so lang wie breit. Die Breite der Klebefalze beträgt 0,1 a.

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Ermitteln Sie die Länge, die Breite und die Höhe für eine solche Verpackung, welche mit minimalem Materialaufwand auskommt!

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Es geht um eine Optimierungsaufgabe Volumen vs. Umfangsfläche.

Volumen ist fix.

Formel für Quaderfläche schon gefunden?

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Volumen

V = a·b·h

mit b = 1.5·a

V = a·(1.5·a)·h = 1.5·a^2·h = 1000 cm³ --> h = 2000/(3·a^2)

Verpackungsmaterial

A = (b/2 + a + b + a + b/2 + 0.1·a)·(0.1·a + a/2 + h + a/2 + 0.1·a) = 2.52·a^2 +2.4·a·b + 2.1·a·h + 2·b·h

mit b = 1.5·a

A = 2.52·a^2 +2.4·a·(1.5·a) + 2.1·a·h + 2·(1.5·a)·h = 6.12·a^2 + 5.1·a·h

A = 6.12·a^2 + 5.1·a·h = 6.12·a^2 + 5.1·a·(2000/(3·a^2)) = 6.12·a^2 + 3400/a

A' = 12.24·a - 3400/a^2 = 0 --> a = 5/3·60^{1/3} = 6.525 cm

b = 1.5·a = 1.5·(6.525) = 9.788 cm

h = 2000/(3·a^2) = 2000/(3·(6.525)^2) = 15.66 cm

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Warum h = 2000/(3·a2)  anstatt h=1000/(1,5*a2) ?

Deins geht auch. In Brüchen kürzt und erweitert man meist, sodass eben gerade keine Dezimalzahlen mehr auftreten.

ok Danke und wie kommst du auf 2.52·a2 +2.4·a·b + 2.1·a·h + 2·b·h  . Wie kommt da 2,52 und 2,4.... raus?

A = (b/2 + a + b + a + b/2 + 0.1·a)·(0.1·a + a/2 + h + a/2 + 0.1·a)

Kannst du das wie folgt zusammenfassen ?

A = (2.1a + 2b)·(1.2·a + h)

Kommt jetzt zusammengefasst am ende  (2.1a + 2b)·(1.2·a + h) .....Mit welchem Gesetz hast du die Klammer aufgelöst weshalb man 2+1,2 machen muss

(2.1a + 2b)·(1.2a + h) = 2.1a*1.2a + 2.1a*h + 2b*1.2a + 2b*h

Hast du da solche extreme Schwierigkeiten? Dann rate ich das zu üben: https://www.matheretter.de/wiki/distributivgesetz


5.1·a·(2000/(3·a^2))
a kürzen

5.1·(2000/(3·a)) = 3400 * 1/a = 3400/a


Du musst die Gleichung 12.24·a - 3400/a^2 = 0 nach a auflösen.

Zuanfang mit a^2 multiplizieren und dann direkt nach a auflösen.


12.24·a - 3400/a^2 = 0 

12.24·a^3 - 3400 = 0
12.24·a^3 = 3400
a^3 = (3400/12.24)
a = (3400/12.24)^{1/3}

Hast du hier die Umkehrfunktion benutzt?

(3400/12.24)1/3 → a = 5/3·601/3

Das brauchst du nicht machen. Es langt wenn du es dezimal hinschreibst. Die Wurzel würde so schöner gemacht werden:

(3400/12.24)1/3

= (2500/9)^{1/3}

= (2^2*5^4/3^2)^{1/3}

= 5/3 * (2^2*3^3*5^4/(3^2*5^3))^{1/3}

= 5/3 * (2^2*3*5)^{1/3}

= 5/3 * (60)^{1/3}

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