Gib die Scheitelpunktkoordinaten und die Gleichung der Parabel an (Steckbrief Parabeln)

Question

Hallo :) Die ganzen Videos zu Quadratischen Funktionen sind wirklich gut! Es ist alles langsam und gut erklärt worden :) Dennoch habe ich auch noch eine Frage: Wir haben "Steckbriefe" von Parabeln bekommen.

In der Aufgabe steht: Gib die Scheitelpunktkoordinaten und die Gleichung der Parabel an.

1. nach oben geöffnet
2. mit Faktor 1/2 gestaucht
3. Nullstellen: 2 und 6

Ich weiß wohl,dass die Gleichung so anfängt: 1/2x² weiter aber nicht :(

Wie kann ich denn aus den Nullstellen die Gleichung herleiten?

Vielen Dank schonmal :)

Answer 1

Das wird ausführlich im Video Quadratische Funktionen Teil 7: Linearfaktoren (nicht gratis) erklärt.

Durch die bekannten Nullstellen kannst du aufstellen: f(x) = a*(x - 2)*(x - 6)

Dann noch a = 1/2 als Stauchung/Streckung eintragen, und die fertige Formel lautet: f(x) = 1/2*(x - 2)*(x - 6)

Wenn du möchtest, kannst du auch noch ausmultiplizieren:

f(x) = 1/2*(x - 2)*(x - 6)

f(x) = 1/2*(x*(x - 6) - 2*(x - 6))

f(x) = 1/2*(x*x - x*6 - 2*x + 2*6)

f(x) = 1/2*(x² - 6x - 2x + 12)

f(x) = 1/2*(x² - 8x + 12)

f(x) = 1/2x² - 4x + 6

 

Der Graph sieht so aus:

Answer 2

Es gibt zwei Herangehensweisen.

1) Du setzt Voraus, dass die Lösung eine Gleichung der Form

y = 1/2x² + ax + b

ist und setzt dann die beiden bekannten Punkte ein (nämlich (2,0) und (6,0))

Das sieht folgendermaßen aus:

0 = 1/2 * 2² + a*2 +b  (I)

0 = 1/2 *6² + a*6 + b  (II)

Zieht man die erste Gleichung von der zweiten ab, so erhält man:

0 = 1/2*6² - 1/2*2² + 6a - 2a

0 = 18 - 2 + 4a  | -16

-16 = 2a | :4

a = -4

Durch Einsetzen von a in (I) kann man dann b ausrechnen:

0 = 1/2 * 2² + (-4)*2 + b

0 = 2 - 8 + b | +6

6 = b

Die komplette Gleichung lautet also:

y = 1/2 x² - 4x + 6

 

2) Jedes Polynom n-ten Grades, also jeder Term der Form

a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ... a_nxⁿ

der genau n Nullstellen hat, lässt sich in seine sogenannten Linearfaktoren zerlegen, das heiß auf die folgende Form bringen:

a*(x-x₀₁)(x-x₀₂)(x-x₀₃)...(x-x_0n)

 

In diesem Fall bedeutet das:

y = 1/2 * (x-2) * (x-6)
y = 1/2 * (x² - 2x - 6x + 12)

y = 1/2*x² - 4x + 6

 

Natürlich kommt auf beiden Wegen das gleiche raus. Die Frage ist nur, welcher Weg dir besser liegt und welchen Ansatz du dir besser merken kannst.