Nullstelle von 3x-x^{3/2}=0

Question

Wie lauten die Nullstellen?

3x-x^{3/2}=0

Ich weiss nicht was ich mit dem Exponenten machen soll.

Answer 1

3·x - x^{3/2} = 0

3·x = x^{3/2}

quadrieren

9·x^2 = x^3

x^3 - 9·x^2 = 0

x^2(x - 9) = 0

x = 0 oder x = 9

Answer 2

3x - sqrt(x^3)=0

3x               = sqrt(x^3) |(..)^2

9x^2            =x^3

9x^2  -x^3 =0

x^2(9 -x)=0

x_1.2=0

x_3=  9

Die Probe bestätgt die Lösungen.

Answer 3

Hier ich kenne einen Trick; der bietet echt Vorteile. Zuerst tust du die Unbekannte umbenamsen in y .




     3  y  =  y  ^  3/2     (  1  )

Was soll das bringen? Ich führe jetzt die Hilfsvariable x ein; und zwar wird die linke Seite gleich x gesetzt:

x  :=  3  y  ===>  y  =  1/3  x     (  2a  )

Du siehst: Links wurde nicht quadriert; keines Wegs muss ich auf beiden Seiten der Gleichung das Selbe machen. Dann muss aber auch die rechte Seite gleich diesem x sein:

x  =  y  ^  3/2  ===>  y  =  x  ^  2/3    (  2b  ) 

Dieser Trick funktioniert immer dann, wenn y im Radikanden linear auftritt. Gleich setzen von ( 2ab )

1/3  x  =  x  ^  2/3    |   :  x  ^  2/3      (  3a  ) 

Zunächst mal ist da die Lösung x1= 0 ===> y1 = 0 .    Dann kommt noch x2 = 27 ; y2 = 9  ( y jeweils aus ( 2a ) )  Der vorteil dieses Verfahrens: Die bei Wurzelgleichungen ansonsten unumgängliche Probe entfällt; gemeint war mit x in ( 2b ) die positive Wurzel. Da beide x-Werte nicht negativ sind, können wir diese unbesehen übernehmen.