Dreifach Integral/Volumen durch Integration

Question

ich habe hier folgende Aufgabe (siehe Bild)

Ich schätze mal, dass K ein Zylinder ist mit Grundfläche in der xy-Ebene, Radius r=1 und höhe z=1?

Da es ein Zylinder ist würde ich das Integral auch über Zylinderkoordinaten lösen, nur bin ich mir bei den Integrationsgrenzen nicht ganz sicher, hoffe mir kann an der stelle jemand weiterhelfen.

Gruß

Comments

Falsch geraten, es ist kein Zylinder.

Answer 1

es ist kein Zylinder, was du daran erkennst, dass für jede Höhe der Radius des Querschnitts anders ist. Es handelt sich um einen Paraboloid der die Höhe 1 hat.

Zylinderkoordinaten ist trotzdem schon mal ein guter Plan. Integrationsgrenzen kannst du ja ganz schnell herleiten:

$$ 0 \leq \varphi \leq 2\pi, \quad 0 \leq r \leq \sqrt{z}, \quad 0 \leq z \leq 1 $$

Gruß

Comments

Ohje^^ aber jetzt macht das auch gleich viel mehr Sinn! Da ich dachte, dass es ein Zylinder ist, kamen nur konstante Integrationsgrenzen raus, da war ich dann gleich verwirrt.. Danke, damit wär eigentlich alles geklärt :)

:)

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Fuer einen Kegel muesste \(r\le z\) sein.

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Ich denke r <= sqrt(z) stimmt schon, oder? Das ergibt sich doch aus der Umformung x=rcosφ und y=rsinφ, dann ist x^2+y^2= r^2*cos^2φ + r^2*sin^2φ=r^2

Dann ist r^2<=z und daraus folgt r<= sqrt(z)

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Woraus dann folgt, dass K kein Kegel ist.

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Genau sorry hatte die Grenzen angepasst aber das mit dem Kegel nicht verbessert. Es handelt sich dann natürlich um einen Paraboloid. Danke @ Gast ia2255. Hab es korrigiert.

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Oh okay, jetzt verstehe ich, danke

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Ich hätte da doch noch eine Frage: Könnte man diese Aufgabe nun auch mit dem Transformationssatz lösen? Wie sähe das dann aus? Den habe ich nämlich noch nicht so ganz verstanden :I Ich weiß, dass er ja sozusagen die Substitutionsregel im Mehrdimensionalen ist, aber bei der Anwendung scheitere ich leider kläglich :/ 
Sorry für die vielen Fragen :S

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Wenn du mit Zylinderkoordinaten hantierst dann verwendest du doch schon den Transformationssatz?

Was genau ist dir dann unklar? Schau mal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionaldeterminante#Zylinderkoordinaten

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Oh man ich hab mir das Leben mal wieder schwerer gemacht als es ist xD Entschuldige, hatte einen Knoten drin aber jetzt ist mir alles klar, danke!^^

Answer 2

x^2 + y^2 <= z ist ein Kreis mit dem Radius √z. Die Fläche bestimmt sich also aus

A = pi * r^2 = pi * z

Bilde ich jetzt ein Integral für z = 0 bis 1 habe ich doch das Volumen oder sehe ich das falsch?

∫ (0 bis 1) (pi·z) dz = pi/2