Wie zeigt man, dass jede ganze Zahl a mit 1< = a < p invertierbar modulo p ist?

Question

Ich soll folgendes beweisen:

Sei p eine Primzahl. Beweise, dass jede ganze Zahl a mit 1 ≤ a < p invertierbar modulo p ist.

Ich weiß, das die Def. für eine Primzahl p ist: Sie ist nur durch 1 und durch p teilbar.

a ist kongruent zu b mod p beduetet, dass a und b restgleich sind, wenn wir sie durch p dividieren.

Invertierbar bedeutet, dass ich a schreiben kann als a Ξ n mod p, sodass a * x = y * n = ... (mod p) ist.

Aber so wirklich habe ich das mit Kongruenzen und dem invertieren noch nicht verstanden und vor allem weiß ich nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll...

Answer 1

Die Abbildung $$\mathbb Z/p \mathbb Z \to \mathbb Z / p \mathbb Z , \quad x \mapsto ax$$ ist für alle $$1<a \leq p$$ injektiv und damit (da Werte- und Definitionsbereich endlich und identisch sind)  auch surjektiv.

Also ist a invertierbar.