Komplexe Zahlen (1+i)^20

Question

Meine Frage lautet wie folgt:

Ich habe den Term (1+i)^20 und es kommt -1024i heraus.

Wie schaffe ich es diesen term mit hoch 20 schnell auszumultiplizieren, ohne die ganzen schritte des ausmultiplizierens zu machen?

Meine Idee war es ja es in verschiedene teile aufzuteilen sprich: (1+i)^5 mal (1+i)^5 mal ...
und die dann mit dem pascalschen dreieck schnell runter zu rattern, aber dieser Weg scheint sehr langsam zu sein und viel Zeit in anspruch zu nehmen.. wie kann ich hier schnell zu der genannten Lösung von -1024i kommen?

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Alexander

Answer 1

Du kannst doch z = 1+i in der Form   r* e ^i*phi schreiben.

Dann ist  z^20  =    r^20 * e ^i*20*phi   

in diesem Fall r=wurzel(2) und phi=pi/4

also r^20=2^10=1024   und pi/4*20 = 5pi entspricht pi

also z^20 = 1024 * (-1) = -1024

und nicht   -1024i

Comments

Upsie ich glaube ich habe es etwas unverständlich geschrieben. My bad.

z= (1+i)^20  und zu berechnen ist der realteil und der imaginär teil.

Sorry :(

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also Realteil -1024 und Imaginärteil 0

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warum ist r=Wurzel(2)und phi=pi/4woher weiß man das, bzw. wie berechnet man das?

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Zeichne u = 1 + i in der komplexen Zahlenebene ein und schaue r und phi dieser Zahl an.

(Kann sein, dass du den Pythagoras brauchen kannst).

Answer 2

Rechne:$$(1+i)^{20}=((1+i)^2)^{10}$$

Btw. Das Ergebnis ist falsch.

Comments

Vielen dank :D hat mir geholfen <3

Answer 3

warum ist r=Wurzel(2) und phi=pi/4 woher weiß man das, bzw. wie berechnet man das?