Anzahl der Quellen eines Gradientenfeldes

Question

Guten Tag ich habe eine Frage zum Gradientenfeld:

Aufgabe:

Gegeben sei eine Temperaturfunktion T(x,y,z)= ax - y x- (1 / 3) * z³ für alle (- 5 < x,y,z > 5).

Wie viele Wärmequellen besitzt dieses Gradientenfeld?

kann mir jemand sagen wie man da vorgeht bzw. wie man ansetzt?

muss ich erst das feld bilden durch grad T und danach die Divergenz div T bilden? Aber wie finde ich dann die Anzahl der Quellen raus ?

MfG Linda :)

Comments

Wie kann ein skalares (Temperatur-)Feld ein Gradientenfeld sein?

---

SItze gerade an der selben Aufgabe :D würde mich auch über einen Lösungsansatz freuen:)

MfG Tobi:)

---

\(Q=-\mathop{\mathrm{grad}} T\) waere der Waermefluss. In dem koennte man durch Betrachtung der Divergenz Waermequellen finden: \(\mathop{\mathrm{div}} Q=2z\). Dann waere die ganze positive z-Achse eine Waermequelle und die ganze negative eine Senke. Was soll man da dann zaehlen? Ist das wirklich so die Aufgabe oder fehlt da die Haelfte?

---

Ja das ist wirklich so die Aufgabe.

Answer 1

$$ T(x,y,z)= ax - y x-  \frac{z^3}3 $$
---
$$\frac{\partial T(x,y,z)}{\partial x}= a - y  $$
$$\frac{\partial T(x,y,z)}{\partial y}=  -  x $$
$$\frac{\partial T(x,y,z)}{\partial z}=-  z^2 $$
--- kritische Stelle bei y=a;x=0;z=0
$$\frac{\partial^2 T(x,y,z)}{\partial x \partial x}= 0  $$
$$\frac{\partial^2 T(x,y,z)}{\partial y \partial x}=  -  1 $$
$$\frac{\partial^2 T(x,y,z)}{\partial z \partial x}=0 $$
---
$$\frac{\partial^2 T(x,y,z)}{\partial x\partial y}=  - 1  $$
$$\frac{\partial^2 T(x,y,z)}{\partial y \partial y}=  0 $$
$$\frac{\partial^2 T(x,y,z)}{\partial z \partial y}=0 $$
---
$$\frac{\partial^2 T(x,y,z)}{\partial x \partial z}= 0  $$
$$\frac{\partial^2 T(x,y,z)}{\partial y \partial z}= 0 $$
$$\frac{\partial^2 T(x,y,z)}{\partial z \partial z}=- 2 z $$
---
Hessematrix entspricht Nullmatrix bei z=0
keine der 3. Ableitungen ist ungleich Null
=>> man kann nix sagen ...

Comments

Waermequellen sind keine Temperaturmaxima.

---

Stimmt!

Wenn ich einen (an den Strom angeschlossenen, betriebsbereiten) Tauchsieder in die Regentonne halte, bilden sich an den Heizwicklungen Eiswürfel, die zu Boden sinken, während das Wasser an der Fasswandung zu sieden beginnt.

---

Dein Tauchsieder ist aber kein Extrempunkt. Er ist raeumlich aufgeloest und damit sicher kein Maximum in dem Sinne, wie Du es hier berechnen willst. Punktquellen hingegen erzeugen einen Pol im Potential. Da T als Polynom keine hat, kommen nur raeumlich ausgedehnte Waermequellen infrage.

---

Zumindest ist mit der obigen Methode bewiesen, dass keine "Tauchsieder" - ob räumlich ausgedehnt oder idealisiert punktförmig - innerhalb des zu beobachtenden Würfels vorliegen.

Die Temperaturverläufe im simulierten Modell sind leider auch etwas von der Realität distanziert ... oder es handelt sich um einen inhomogenen Werkstoff, dessen Wärmeleiteigenschaften zu allem Unglück auch noch von der Richtung des Temperaturverlaufes anhängig sind.

Aber sei's drum - als gröbliche Näherung nimmt man ja immer mal gern Polynömchen und dann vertrete ich die Auffassung, dass das Modell allein mit Wärmequellen nicht beschrieben werden kann - man muss sich auch überlegen, wo Wärmesenken vorliegen.

Ich tippe mal auf drei Quellen und drei Senken ...

---

Auch falsch geraten: Es ist \(\nabla^2 T=-2z\). Quellenfrei ist die Ebene \(z=0\). Der Halbraum \(z>0\) ist eine einzige Senke, der Halbraum \(z<0\) ist eine einzige Quelle. Die Staerke nimmt jeweils mit \(2|z|\) zu.

(Die Aufgabe ist unvollstaendig/falsch und wollte auch nicht komplettiert werden. Insofern nur im Prinzip und nicht als Antwort.)

---

Diese Darlegung erklärt aber nicht die Temperaturverläufe innerhalb einer Schnittebene von

$$ z= h\in {h|-5<h<5}$$

Da müsste die gesamte Schnittebene eine Äquipotentialfläche sein - ist sie aber nicht.

Vielleicht liegt's auch an der vergurkten Aufgabenstellung ...

---

Die Gleichung \(\nabla^2 T=-2z\) ist mit vielen Temperaturfeldern kompatibel. Die Waermequellen/-senken alleine bestimmen die Lösung noch nicht. Wenn man wie hier auf einem Wuerfel arbeitet, dann braeuchte man noch Randbedingungen. Die Ebenen \(z=\mathrm{const.}\) muessen keine Isothermen sein.

Praktisch betrachtet wuerde man die gegebene Temperaturverteilung T bekommen, wenn man passend zu \(-2z\) "heizt/kuehlt" und die Werte gemaess T auf dem Wuerfelrand festhaelt (keine Ahnung wie). Dann stellt sich im Wuerfel das Temperaturfeld T ein. :)