Es ist immer das Selbe; der Entdecker scheine ich zu sein. Übrigens im Zusammenhang mit diesem Forum; Glückwunsch.
Nicht ein Sattelpunkt ( SP ) ist hier gemeint, sondern ein ===> Terrassenpunkt ( TP ) Habt ihr schon Ahnung von mehrdimensionalen Funktionen z = f ( x ; y ) ? Ein Sattel ist nämlich immer eine mindestens zweidimensionale Fläche, die in einer Richtung ein Maximum und in einer anderen ein Minimum besitzt. Dies genau ist meine Erkenntnis; ein SP ist ein VERALLGEMEINERTES EXTREMUM.
In zwei oder mehr Dimensionen z = f ( x ; y ) ist hinreichende Bedingung für Extremum:
1) Der Gradient grad ( z ) verschwindet; im eindimensionalen Fall y = f ( x ) ist grad ( y ) = y '
2) Die Hessematrix H ist definit; im eindimensionalen Fall entartet H zu y "
Hinreichende bedingung für SP : H ist indefinit ; die skalare Größe y " kann jedoch nie " indefinit " werden. Eine Zahl ist entweder negativ oder positiv . Claro ; eine ( wie auch immer geartete ) HINREICHENDE Bedingung für SP wird im eindimensionalen Fall nie errreicht.
Das heißt aber jetzt im Umkehrschluss: NOTWENDIG für TP ist, dass Hessematrix H singulär bzw. y " = 0 ; zugegeben eine schwache Bedingung.
Im eindimensionalen Fall hast du nur hinreichende Bedingungen.
1) Eine Nullstelle gerader Ordnung ist ein Extremum.
2) Eine ( mehrfache ) Nullstelle ungerader Ordnung ist ein TP .
Genau das übernahm ich in dem unentschiedenen Fall von singulärem H . Ich zog ( gerade ) Strahlen in sämtliche Richtungen; und da stellt sich eben heraus, dass im Falle eines Extremums oder SP immer eine gerade Nullstelle vorliegt. Der Unterschied ist lediglich, dass das Vorzeichen der ersten nicht verschwindenden Ableitung im SP richtungsabhängig ist ( Maximum oder Minimum )
Hier wurde übrigens mal eine Hochschulaufgabe gwepostet, aus der ganz deutlich hervor ging, dass dem Prof selbst der Unterschied zwischen SP und TP überhaupt nicht klar war. Diese Vorrede richtet sich an alle Schüler, die sich ( gleich mir ) auch in der Schule schon mal mit mehrdimensionalen -funktionen auseinander setzen.
Und jetzt zu deinem Dings; wir hatten gerade gelernt: Ein TP ist eine 3-fache Nullstelle ( 5-fach kann ja nun nicht gut sein. ) Gehen wir doch erst mal aus von der Normalform deines Polynoms :
F ( x ) := x ³ ( x - x4 ) = ( 1a )
= x ^ 4 - x ³ x4 ( 1b )
Offensichtlich kommen wir mit einer einzigen Unbekannten aus. Jetzt war x ( w ) = 1 ; hier ist 2. Ableitung gefordert.
F ' ( x ) = 4 x ³ - 3 x ² x4 ( 2a )
F " ( x ) = 12 x ² - 6 x x4 = ( 2b )
= 6 x ( 2 x - x4 ) = 0 ( 2c )
x ( w ) = 1/2 x4 = 1 ===> x4 = 2 ( 3 )
In der Aufgabe steht: Schneidet die Abszisse mit der Steigung pipapo . Bisher haben wir ja auch nur 4 Bedingungen ausgewertet - also was fehlt noch? Sie schneidet natürlich in x4 ; ich hatte wieder mal das richtige Gespür. genau diese Unbekannte brauchen wir.
Jetzt bildest du F ' ( x4 ) Aber was noch fehlt, ist natürlich der Leitkoeffizient k
f ( x ) = k F ( x ) ( 4 )
