Partielle Integration. Integral von sin(kx)*cos(lx) = π, falls k=l und 0, falls k≠l zeigen.

Question

Kann mir jemand zeigen wie das geht ?

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Schau mal hier:

https://www.matheretter.de/wiki/partielle-integration

Answer 1

Punkt 1. Die Aussage ist so wie sie da steht falsch: Für k=0 oder l=0 ist das Integral auch 0.

Punkt 2: Auf das Ergebnis der partiellen Integration muss nochmal partielle Integration angewandt werden.

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Danke ich werd es mal probieren.

Answer 2

Kann mir jemand zeigen wie das geht ?ja sicher.

allg.

int u' v dx=u v-int u v'dx

Hier mal der Anfang:

v= sin(l*x)

v'= l*cos(l*x)

u= (-cos(k*x)/k

u'= sin(kx)

------>

u= (-cos(k*x)/k *sin(l*x) -int ((-cos(k*x)/k *l*cos(l*x))dx

das mußt Du nun nochmal partiell integrieren:

Lösung:

= (l* sin (kx)*cos(lx)- kcos(kx)*sin(lx))/(k^2 -l^2)

Nun noch die Grenzen einsetzen.

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Für was muss ich jetzt die Grenzen einsetzen ?Einmal Pi in die Gleichung - (-Pi in die Gleichung )?

---

Für was muss ich jetzt die Grenzen einsetzen ?  für x

Was ich geschrieben habe war die Lösung OHNE einsetzen der Grenzen.

LÖSUNGEN.

1.) für k versichieden l: (mit Grenzen)

(sin(x(k-l))/(2(k-l)) - (sin(x(k+l))/(2(k+l))

2.) für k = l:

allg. :x/2 - (sin(2kx)/4k +C

mit Grenzen:

Pi - (sin(2kPi)/2k

Answer 3

Ich krieg eine andere Stammfunktion für k ungleich l

sin((k-l)*x) / (2(k-l)) - sin((k+l)*x)/(2(k+l))

gibt also für x=pi

sin((k-l)*pi) / (2(k-l)) - sin((k+l)*pi)/(2(k+l)) = 0,

weil bei den Vielfachen von pi der sin = 0 ist

und für  x = - pi

sin((l-k)*pi) / (2(k-l)) - sin((-k-l)*pi)/(2(k+l)) = 0 s.o.

und für k=l

ist ja  sin^2(k*x) zu integrieren und das gibt

x/2 - sin(kx)*cos(kx) / (2k)  also nach Einsetzen der Grenzen

k*pi/k = pi