Wie lang ist das vom Ursprung auf die Gerade gefällte Lot? g: (x,y)^T = (3,9)^T + t(3,4)^T

Question

Wie lang ist das vom Ursprung auf die Gerade \( g \) gefällte Lot?

a) \( g: 4 x-3 y+20=0 \)

b) \( g: y=7 / 24 x+3 \)

c) \( g:\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}3 \\ 9\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}3 \\ 4\end{array}\right) \)

d) \( g:\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}15 \\ 10\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}117 \\ -44\end{array}\right) \)

Comments

Gefragt ist hier einfach der Abstand von einem Punkt (0,0) und der Gerade. Das ist doch eigentlich einfach.

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bei b) habe ich gerechnet:   (7/24 *0+3)/ √ (7/24)^2 = 10.285     doch die Lösung sollte 2.88 sein

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y = 7/24x + 3
24y = 7x + 72
7x - 24y + 72 = 0

d = (7x - 24y + 72) / (7^2 + 24^2) = (7*0 - 24*0 + 72) / √(7^2 + 24^2) = 2.88

Auch Aufgabe c) und d) kannst du zunächst auf Koordinatenform bringen.



Oder wie du es rechnen wolltest:

y = 7/24x + 3
7/24x - y + 3 = 0

d = (7/24x - y + 3) / √((7/24)^2 + 1^2) = (7/24*0 - 0 + 3) / √((7/24)^2 + 1^2) = 2.88

Answer 1

[x, y] = [3, 9] + r * [3, 4]

Wenn wir das als Koordinatengleichung haben wollen betrachten wir das wie zwei Gleichungen

x = 3 + 3·r

r = x/3 - 1

y = 9 + 4·r

r = y/4 - 9/4

Jetzt können wir Gleichsetzen.

x/3 - 1 = y/4 - 9/4

4x - 12 = 3y - 27

4x - 3y + 15 = 0

Abstandsform wäre hier also

d = (4x - 3y + 15) / √(4^2 + 3^2)

Wenn wir jetzt für x und y noch 0 einsetzen, haben wir den Abstand zum Ursprung.

d = 15 / √(4^2 + 3^2) = 3