wie untersucht man bei einer Gerade und einer Ebene ob sie Schnittpunkte miteinander haben

Question

Wie geht man hier genau vor? man soll untersuchen ob die Gerade g und die Ebene E Schnittpunkte miteinander haben?
g:x=(-1 -2 4) + r*(1 0 1);    E:x=(4 -1 3)+ s *(2 1 -1)+ t*(3 1 0)

Comments

Scheint graphisch so, dass sie parallel zueinander verlaufen. Siehe Geoknecht 3D.

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Sach ich doch!

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@mathef: Du weißt doch, ich teste den Geoknecht mit den aktuellen Aufgaben, ob er auch in allen Fällen korrekt funktioniert :) Wenn du möchtest, kannst du dies auch tun ;-) lg Kai

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@Kai: Klar, sollte ein Scherz sein.

Answer 1

gleichsetzen gibt Gleichungssystem mit drei
Gleichungen ( für jede Koordinate eine) für r,s,t
wenn es eindeutig lösbar ist,
gibt es einen Schnittpunkt.
Keine Lösung g parallel zu E aber nict in E
unendlich viele Lösungen :  g liegt in E
Ich habe in deinem Fall nach Umformen als letzte
Gleichung o*r=1 raus, das hieße:
g parallel zu E aber nicht in E

Answer 2

Man könnte gleichsetzen und ein LGS mit drei Unbekannten ausrechnen (lästig)

Oder man formt die Parametergleichung der Ebene in die Normalenform um, setzt dort den Geradenterm für den Vektor x ein.

Aus dieser Gleichung erhält man ggf: den Parameter r der Geraden.

(Wenn nicht, gibt es keinen Schnittpunkt, wenn die Gleichung einen Widerspruch ergibt. Oder die Gerade liegt in der Ebene, wenn die Gleichung allgemeingültig ist)

Diesen setzt man in die Geradengleichung ein und erhält ggf. den Schnittpunkt.

Answer 3

Die Gerade läuft parallel zur Ebene mit einem Abstand von 1,507556722888818, es gibt also keinen Schnittpunkt