Komplexe Zahlen Darstellung

Question

Hallo liebe Mathe-Gemeinde :)

Zurzeit lerne ich für meine Klausuren und hänge mal wieder an einem Problem fest, wo ich selbst mit Skript nicht mehr weiter komme :(

Ich habe nun die folgende Problemstellung:

Gegeben ist  z^2 - (Lambda-2*i)*z - (1+Lambda*i) = 0

Lambda sei eine beliebige reelle Zahl und bestimmen Sie die zwei komplexen Lösungen der folgenden Gleichung mittels quadratischer Ergänzung.

Ich habe nach dem umstellen der quadr.ergänzung nun folgendes:

(z-(a/2))^2  =  (a/2)^2 + b   || sqrt

...

z= Lambda-2*i  +  sqrt(1+Lambda*i)

Wie bringe ich nun diese in eine andere Form? (Kartesische bspw.)

Answer 1

$$ z^2 - \lambda-2\,i \, z - 1 -\lambda \, i = 0  $$
$$ z^2-2\,i \, z - 1  - \lambda-\lambda \, i = 0  $$
$$ (z-\,i)^2 \,   - \lambda \cdot( 1+ \, i) = 0  $$
$$ (z-\,i)^2 \,   = \lambda \cdot( 1+\, i)   $$
$$ z-\,i \,   =\sqrt{ \lambda \cdot( 1+ \, i) }  $$
$$ z-\,i \,   =\sqrt{|\lambda |} \cdot \sqrt{ e^{ i\frac\pi4}}  $$
$$ z \,   =\sqrt{|\lambda |} \cdot \sqrt{ e^{ i\frac\pi4}} +i $$
$$ z_1   =\sqrt{|\lambda |} \cdot  e^{ i\frac\pi8}  +i$$
$$ z_2   =\sqrt{|\lambda |} \cdot  e^{- i\frac78 \, \pi}  +i$$

Comments

z² - (λ-2*i)*z - (1+λ*i) = 0

Hmm ich verstehe wie du da vor gegangen bist, aber muss man die klammern nicht beachten?

Wäre sonst ziemlich verwirrt, weshalb dann nciht  z²- λz +2zi - 1 -λi = 0 dort steht.

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Doch, muss man, da hat er sich vertan.

Die Lösungen sind (zur Kontrolle) dann übrigens: \(-i\) und \(\lambda-i\)

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habs geschafft :)
z1 = Lambda - i
z2 = -i

Vielen dank für die gedanken stütze ;)

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aber muss man die klammern nicht beachten?

Doch - sicher.

aber beim Abschreiben sind mir die Klammern wohl versehentlich runtergefallen ...