Berechne den Abstand von LKW und PKW zum Zeitpunkt der Vollbremsung

Question

Wie löse ich diese Aufgabe: Zusatzaufgabe: Berechne, wie viel Meter früher der PKW seine Vollbremsung hätte starten müssen, damit er nicht auf den LKW gefahren wäre. Tipp: Berechne, wie viel Meter der LKW zu Beginn der Vollbremsung weiter entfernt hätte sein müssen. Habe die funktionsgleichung vom LKW f(x)=20×x+56 und die des PKW f(x)=-4x²×2+50×x

Aufgabe 3cqf_aa24.pdf (30 kb)

Comments

Deine Gleichung für den PKW stimmt nicht
LKW f(x)=20×x+56
PKW f(x)=-4x²×2+50×x

Sondern
LKW f(x)=20×x+56
PKW f(x)=-4x² + 50×x

Wenn du die Graphen gezeichnet hast siehst du Schnittpunkte
bei x = 7/2 und x = 4. Dann kommt es zum Auffahren.
In der Praxis natürlich nur bei x = 7/2.

Ich folge dem Tip in der Aufgabenstellung 3c. und drücke die LKW-Gerade
so weit nach oben das nur ein Berührpunkt entsteht.
l ( x ) = 20 * x + b
p ( x ) = -4*x^2 + 50 * x

l ( x ) = p ( x )
20 * x + b = -4*x^2 + 50 * x

x = 15/4  ± √ [ ( 225 - 4 * b ) / 4  ]

Damit nur 1 Punkt vorhanden ist muß der Term  √ [ ( 225 - 4 * b ) / 4  ]
gleich 0 sein
√ [ ( 225 - 4 * b ) / 4  ] = 0
( 225 - 4 * b ) / 4  = 0
225 - 4 * b =0
b = 56.25 m

Zum Zeitpunkt x = 0 war der LKW bei 56 m und der PKW bei 0 m
Wäre der LKW bei 56.25 m gewesen wäre es nur zu einem Berühren
gekommen.
Wäre der PKW bei s = -0.25 m gewesen hätte dies denselben Effekt gehabt.
Antwort : Der PKW hätte seine Vollbremsung 0.25 m früher starten müssen.

Bitte alle Berechnungen kontrollieren.

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Erstmal vielen Dank, aber lieder kann ich deiner Rechnungn icht folgen. Das Ergebnis ist korrekt,aber ich verstehe nicht wie du auf das x = 15/4  ± √ [ ( 225 - 4 * b ) / 4  ] kommst und das danach auch nicht.

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20 * x + b = -4*x² + 50 * x 

4*x^2 + 20 * x -50 * x = -b
4*x^2 -30 * x = -b | : 4
x^2 - 15/2 * x = -b / 4  | quadratische Ergänzung
x^2 - 15/2 * x + ( 15/4)^2  - (15/4)^2 = -b / 4
( x - 15/4 )^2  = 225 / 4 - b / 4 = ( 225 - b ) / 4  | Wurzelziehen
x - 15/4   = ± √ [ ( 225 - b ) / 4 ]

x = 15/4  ± √ [ ( 225 - 4 * b ) / 4  ]

Damit nur 1 Punkt vorhanden ist muß der Term  √ [ ( 225 - 4 * b ) / 4  ]
gleich 0 sein 

Wir wollen das nur 1 Schnittpunkt / Berührpunkt existiert.
Ist ± √ [ ( 225 - 4 * b ) / 4  ]  gleich 0 dann ist

x = 15/ 4  ± 0
oder
x = 15 / 4.

√ [ ( 225 - 4 * b ) / 4  ] = 0
Das bedeutet : der Ausdruck in der Wurzel ist 0
( 225 - 4 * b ) / 4  = 0   | * 4
225 - 4 * b = 0
4 * b = 225
b = 56.25 m

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Und wie kommt man darauf? ( x - 15/4 )²  = 225 / 4 - b / 4 = ( 225 - b ) / 4

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So sieht das bei mir aus, aber weiter komme ich nicht

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Okay ich bin weiter gekommen, aber woher kommt die -4?
x - 15/4   = ± √ [ ( 225 - b ) / 4 ]
x = 15/4  ± √ [ ( 225 - 4 * b ) / 4  ]

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20 * x + b = -4*x² + 50 * x

Wir haben 2 Unbekannte : x und b

b ist der y-Achsenabschnitt der Funktion für den LKW
x ist der Schnittpunkt von LKW und PKW

Wir kennen beide Unbekannte nicht. Du hast nach b umgestellt.
Nicht verkehrt, aber dann hast du b als Funktion von x heraus-
bekommen was nicht weiter bringt.

Außer der obigen Gleichung mit 2 Unbekannten haben
wir noch die Information das die beiden Funktionen nur
einen gemeinsamen Punkt haben sollen ( später unten
werde ich noch genauer argumentieren : keinen gemeinsamen
Punkt haben sollen, dann es ja nicht zum berühren kommen soll ).

Dann rechnen wir zunächst x als Funktion von b aus.

4*x² + 20 * x -50 * x = -b
4*x² -30 * x = -b | : 4
x² - 15/2 * x = -b / 4  | quadratische Ergänzung
x² - 15/2 * x + ( 15/4)²  - (15/4)² = -b / 4
( x - 15/4 )²  = 225 / 4 - b / 4
( x - 15/4 )²  = ( 225 - b ) / 4  | Wurzelziehen
x - 15/4   = ± √ [ ( 225 - b ) / 4 ]
x = 15/4  ± √ [ ( 225 - 4 * b ) / 4  ]

Es gibt jetzt 3 Möglichkeiten
( Der Term in einer Wurzel muß positiv oder null sein )

( 225 - 4 * b ) / 4 < 0 : keine Lösung

( 225 - 4 * b ) / 4 > 0 : Lösung  ± Wurzelwert
Das bedeutet aber wir haben auch für x zwei Werte.
Das wollen wir nicht.

( 225 - 4 * b ) / 4 = 0 : Lösung  : der Wurzelwert ist 0.

x = 15 / 4 ± 0 = 15 / 4
Wird haben nur 1 Berührpunkt.
Das wollen wir.

Dann muß berechnet werden
( 225 - 4 * b ) / 4 = 0
b = 56.25 m

Bei b = 56.25 gibt es nur 1 Schnitt- oder Berührpunkt der beiden Funktionen ( Autos )

Und jetzt ganz genau : wir wollen gar kein Berühren der beiden Autos.
Deshalb sogar besser : b = 56.26 m

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Bis hierhin stimmt es bei mir noch
x² - 15/2 * x + ( 15/4)²  - (15/4)² = -b / 4

Dann muß es heißen
( x - 15/4 )^2 = 225/16 - (4b)/16
( x - 15/4 )^2 = 225/16 - (4b)/16
( x - 15/4 )^2 = ( 225  - 4b) / 16
x - 15/4  = ± √ [ ( 225  - 4b) / 16 ]
( 225  - 4b) / 16 = 0
225 - 4b = 0
b = 56.25

Bei mir war zwar ein Fehler vorhanden
aber es kommt ( durch Zufall ) das gleiche heraus.

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Ah deshalb war ich die ganze zeit verwirrt. In deiner Rechnung hast du einen fehler gemacht, du hast (15/4)^2 als 225/4 ausgrechnet, es sind aber 225/16. Du hast zwar mit 225/16 weiter gerechnet, aber deshalb war ich so verwirrt und konnte deine Rechnung ab der -4 nicht mehr nachvollziehen.

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Fiel mir heute morgen noch zur Aufgabe ein.
Ihr habt noch keine Differentialrechnung gehabt.
Damit geht es dann wesentlich einfacher

l ( x ) = 20 * x + b
p ( x ) = -4*x² + 50 * x
p ´( x ) = -8*x + 50
-8*x + 50 = 20
x = 15/4
p ( 15/4) = 131.25
l ( 15/4 ) = 20 * 15/4 + b = 131.25
b = 56.25

Die Lösung der Aufgabe reduziert sich auf 8 Zeilen.
Also freu´ dich schon einmal auf die Differentialrechnung.