Konvergenz von √(n^2+n+1)-√(n^2+1)

Question

Normalerweise teilt man durch die höchste Potenz von "n". Im Fall: √(n^2+n+1)-√(n^2+1) geht das aber nicht, da soll man es laut Musterlösung mit:  √(n^2+n+1)+√(n^2+1)/√(n^2+n+1)+√(n^2+1) multiplizieren, aber warum? Und wann macht man das?

Answer 1

Bei zweifelhaften Differenzen von Wurzeln benutzt man standardmässig eine Erweiterung mit der 3. binomischen Formel.

Das schafft zwar einen Bruch, führt aber dennoch oft zu einem eindeutigen Ergebnis.

Vgl. auch Rubrik "ähnliche Fragen". 

Comments

Bitte. Gern geschehen! 

Answer 2

wenn du der Anleitung folgst, erhältst du den Bruch 

n / [(√(n^2+n+1) + √(n^2+1)]

wenn du durch n kürzst:

1 / [ 1/n •(√(n^2+n+1) + √(n^2+1))]

ausmultiplizieren und 1/n unter die Wurzeln ziehen:

1/ [ √(1+1/n+1/n²) + √(1 + 1/n²) ]

-> 1/2  für   n->∞