Direkter Beweis 6 teilt (n^3-n)

Question

∀ n ∈ ℕ : 6 Ι

Ich muss nun einen direkten Beweis durchführen...

Ist 6 Ι (n^3-n) das selbe wie (n^3-n) / 6 und kann mir jemand kurz beim Ansatz helfen. Ich reiche dann die Lösung nach, falls ich es kapiere.

Answer 1

Faktorisiere. Zunächst n ausklammern und dann die 3. binomische Formel anwenden.

n^3 - n = n·(n^2 - 1) = n·(n + 1)·(n - 1)

Warum ist der Ausdruck jetzt immer durch 6 teilbar.

Wie geht die Teilbarkeitsregel für 6? Also wann ist eine Zahl durch 6 teilbar?

Comments

wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist...aber ich weiß einfach nicht, wie ich dieses Wissen in meiner Beweisführung verwenden kann. Dazu sollte erwähnt werden, dass dies mein erster direkter Beweis ist.

Ich habe die Aussage mit verschiedenen natürlichen Zahlen getestet, also stimmt die Aussage anscheinend und da sie für verschiedene n ∈ ℕ stimmt, wird sie wohl auch auch für n+1 stimmen bzw. n+2 stimmen, da diese auch natürliche Zahlen sind.

Ich kriege den Beweis trotzdem nicht hin :(

Mir wird auch nach dem recherchieren der Ablauf einfach nicht genau klar. Ich kann zwar fast jeden Beweis nachvollziehn, aber die Umsetzung misslingt mir einfach immer wieder.

---

Setz doch mal in n·(n + 1)·(n - 1) für n ein paar natürliche Zahlen ein. Lasse das als Produkt stehen und rechne es aus. Kommt immer eine durch 2 und 3 teilbare Zahl heraus? Wenn ja warum? 

Damit eine Zahl durch 2 teilbar ist sollte ein Faktor durch 2 teilbar sein. Damit eine Zahl durch 3 teilbar ist sollte ein Faktor durch 3 teilbar sein. Ist das immer der Fall? Wenn ja warum?

---

Wie verhält es sich mit der 1, dort ist kein Faktor durch 3 teilbar? Für die ersten 7 natürlichen Zahlen (bei 1 bin ich mir nicht sicher) wäre es nun bewiesen, aber wie beweise ich es für n+1?

---

Ist 0 nicht durch 3 teilbar ?

Wenn du mal genau hinschaust handelt es sich bei deinen Faktoren immer um 3 aufsteigende Werte.

0 * 1 * 2 = 0

1 * 2 * 3 = 6

2 * 3 * 4 = 24

3 * 4 * 5 = 60

4 * 5 * 6 = 120

Warum ist jetzt mind. ein Faktor durch 2 teilbar und warum ist genau ein Faktor durch 3 teilbar? Das würde als Begründung langen.

---

Also könnte ich für die Faktoren die Schreibweise n * (n+1) * (n+2) verwenden und wie verfährt man jetzt?
Setzt man n * (n + 1) * (n+2) mit n * (n + 1) * (n-1) gleich oder etwas ähnliches?
Beide Ausdrücke müssten nach der Aussage durch 6 teilbar sein, aber richtig begründen kann ich meine Idee mit dem gleichsetzten der Terme nicht.

---

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,...

Welche Zahlen sind hier durch 2 teilbar. Markiere sie.

Welche Zahlen sind hier durch 3 teilbar. Markiere auch diese.

Warum sind bei 3 aufeinanderfolgenden Zahlen garantiert eine durch 2 und garantiert eine durch 3 teilbar.

Spiel doch mal mit den Zahlen.

---

bzgl. der 2, weil es bei 3 auffeinanderfolgenden Zahlen mindestens eine gerade Zahl gibt und diese muss durch 2 teilbar sein und bzgl. der 3 ist es klar, dass wenn man 3 auffeinanderfolgende natürlich Zahlen betrachtet,eine Zahl durch 3 teilbar sein muss bzw. ein Vielfaches von 3 ist.
Ich weiß nicht genau, ob diese Antwort passend ist. Meine mathematischen Fähigkeiten, sind anscheind zu unausgereift. Wie kommt man denn nun auf die Lösung, vlt. wiederfährt mir dann ein Aha-Erlebnis...oder hast du noch einen letzten Tipp, wie ich selbst zur Lösung kommen kann?

Ich danke dir schon mal für deine Hilfe :)

---

Das ist doch schon die Lösung. Oder siehst du gerade den Wald von lauter Bäumen nicht. Du hast gerade gezeigt dass

n·(n + 1)·(n - 1) = (n - 1)·n·(n + 1)

durch 2 und durch 3 teilbar ist und damit auch durch 6 teilbar ist.

Answer 2

Hi, das ist natürlich nicht dasselbe, das eine ist eine (Teilbarkeits-)Aussage, das andere ist ein (Quotienten-)Term, völlig verschiedene Dinge also.

Tipp: Faktorisiere n^3-n.

Answer 3

nein das eine ist eine Aussage und das andere ist eine Zahl.

Der Ansatz dafür wäre \(n^3-n\) zu faktorisieren und sich klar zu machen was es bedeutet, dass eine Zahl durch \(6\) teilbar ist.

Gruß

Answer 4

    3. binomische Formel 




             n  ³  -  n  =  n  (  n  +  1  )  (  n  -  1  )      (  1  )



     Du musst " modulo " denken. Zunächst mod 2 . Wenn n = 0 , ist ( 1 ) sowieso Null, wenn n = 1 , ist n - 1 = 0 .


   Jetzt mo9d 3 . n = 0 ist wieder trivial; wenn n = ( - 1 ) , ist n + 1 = 0 ; wenn n = 1 , ist n - 1 = 0