Sei
1 + q + q2 + .... + qn = s.
Durch Multiplikation mit q auf beiden Seiten bekommst du
q + q2 + .... + qn + qn+1 = qs.
Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten liefert
qn+1 -1 = qs - s
s ausklammern auf der rechten Seite liefert .
qn+1 -1 = (q-1)s
Division durch (q-1) liefert
(qn+1 -1)/(q-1) = s.
Gleichsetzen mit der ersten Gleichung liefert
1 + q + q2 + .... + qn = (qn+1 -1)/(q-1)