Direkter Beweis von 1 + q + q^{2} + .... + q^{n} = (1 - q^{n+1}) / (1 - q);

Question

ich möchte folgendes direkt beweisen:

Direkter Beweis 1 + q + q^{2} + .... + q^{n} = (1 - q^{n+1}) / (1 - q)

Ich komme bis (1 + q + q^{2} + .... + q^{n}) * (1 - q)= (1 - q^{n+1})

Komme dann aber nicht mehr weiter.

für eure Hilfe!

Florian T. S.

Answer 1

Multiplizier die linke seite aus

(1 + q + q² + .... + qⁿ) * (1 - q)

= 1 + q + q^2 + ... + q^n - q - q^2 - ... - q^n - q^{n+1}

Da geht jetzt vieles direkt weg und übrig bleibt

= 1 - q^{n + 1}

Comments

Vielen Dank Mathecoach :-)

Bereite mich auf das Studium vor (Am Montag beginnen die Vorkurse).

Answer 2

Sei

1 + q + q² + .... + qⁿ = s.

Durch Multiplikation mit q auf beiden Seiten bekommst du

q + q² + .... + qⁿ + qⁿ⁺¹ = qs.

Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten liefert

qⁿ⁺¹ -1 = qs - s

s ausklammern auf der rechten Seite liefert .

qⁿ⁺¹ -1 = (q-1)s

Division durch (q-1) liefert

(qⁿ⁺¹ -1)/(q-1) = s.

Gleichsetzen mit der ersten Gleichung liefert

1 + q + q² + .... + qⁿ = (qⁿ⁺¹ -1)/(q-1)

Comments

Auch ein Danke an dich oswald :-)

Grüße

Answer 3

Du könntest über die Polynomdivision (  PD  ) gehen



       [  x  ^  (  n  +  1  )  -  1  ]  :  (  x  -  1  )

leider kennen die Wenigsten von euch eine anonyme Entdeckung aus dem Internet:  PD durch Linearfaktor ( PDLF ) ist äquivalent dem Hornerschema.

Weißt du, wie das geht? Damit könntest du es schaffen. Es ist die Summenformel der Georeihe.