Diagonalisierbarkeit einer Matrix

Question

Ich übe grade die Diagonalisierung von Matrizen und bin auf folgendes Beispiel gestoßen:

Ist folgende Matrix diagonalisierbar?
$$A=\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-\sqrt{3}} & {0} \\ {\sqrt{3}} & {-1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right)$$

Es wird angegeben, dass diese Matrix nicht diagonalisierbar ist.

Wenn ich nun aber die Eigenwerte berechne, erhalte ich 1, i√2, -i√2 . Damit sind die Eigenwerte paarweise verschieden (algV=geoV). Die Eigenwerte liegen jedoch nicht mehr in ℝ.

Müsste die Matrix dann nicht eigentlich über ℂ (aber nicht über ℝ) diagonalisierbar sein? Dabei entsprechen die Elemente der Hauptdiagonalen der Diagonalmatrix den einzelnen Eigenwerten.

Answer 1

Deine Vermutung ist genau richtig.

Die Matrix ist diagonalisierbar über C und nicht diagbar über R. Ich glaube sogar jede Matrix ist diagonalisierbar über C.

Comments

Nein, z.B. ist \(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\) über \(\mathbb C\) nicht diagonalisierbar.

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Ah okay, dann habe ich nichts gesagt. Gibt es es denn da irgendeine Bedingung die erfüllt sein muss oder so? Habe , meine ich, irgendwo mal was in die Richtung gelesen.

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Das charakteristische Polynom muss in Linearfakoren zerfallen (das ist über \(\mathbb C\) immer erfüllt) und für jeden Eigenwert muss die algebraische gleich der geometrischen Vielfachheit sein. Die zweite Bedingung ist bei meiner Matrix nicht erfüllt: Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 0 ist zwei, die geometrische Vielfachheit eins.