Vektoren - Determinante

Question

Hallöle

Meine Frage lautet, wie ich Beweisen kann das die Determinante die Komplanarität 2er oder 3er Vektoren anzeigt, also was könnte ich da drunter schreiben?

Bsp: Aufgabe in der Klausur oder an der Tafel lautet sind die Vektoren A und B bzw. A ,B und C komplanar?

Bei 3 Vektoren würde ich sagen, wenn D=0 bedeutet dass das das Volumen 0 ist , also spannen diese keinen Raum auf, sind also komplanar.

D=Spatprodukt=0 => komplanar

Bei 2Vektoren habe ich leider keine Begründung :(

Bedanke mich schon mal für die Hilfe :)

Answer 1

lin. unabhängig bedeutet doch immer, wenn man die

Vektoren als Spalten einer Matrix A nimmt: Gilt für

alle dimensionen  egal ob 2, 3 oder 4 ...

Das Gl.system    A * x = 0  hat NUR die Lösung: Nullvektor,

ist also eindeutig lösbar. Genau das Gleiche gibt "det ungleich Null"

an. Als  det=0 bei homogenem Gl.syst. bedeutet:

Es gibt mehrer Lösungen, also Vektoren lin. abh.