Man kann als hinreichende Bedingung das Vorzeichenwechselkriterium nehmen. Da sieht man sofort bei einfachen Nullstellen das ein Vorzeichenwechsel existiert.
Frag mich nicht warum Lehrer das nie erwähnen.
f(x) = x^4 - 8·x^3 + 18·x^2 + 8
f'(x) = 4·x^3 - 24·x^2 + 36·x
f''(x) = 12·x^2 - 48·x + 36
Extrempunkte f'(x) = 0
4·x^3 - 24·x^2 + 36·x = 4·x·(x^2 - 6·x + 9) = 4·x·(x - 3)^2
Ein Extrempunkt bei x = 0 (Vorzeichenwechsel)
f(0) = 8 (Tiefpunkt)
Ein Sattelpunkt bei x = 3 (kein Vorzeichenwechsel)
f(3) = 35
Wendepunte f''(x) = 0
12·x^2 - 48·x + 36 = 12·(x^2 - 4·x + 3) = 12·(x - 1)·(x - 3) = 0
Mit dem Satz von Vieta kommt man auf x = 1 oder x = 3. Beide mit Vorzeichenwechsel und damit Wendepunkte.
f(1) = 19
f(3) = 35 (kennen wir bereits als Sattelpunkt)
