Basen der Eigenräume lösen?

Question

ich muss die Basen von Eigenräumen lösen und habe hier schonmal den Eigenraum mit Gauß ausgerechnet.

-1 0 1

0 -1 1

0 0 0

(Der Eigenwert beträgt 1).

Wie lese ich daraus die Basis?

Answer 1

Ich denke mal, du hast den Ansatz für die Bestimmung einer

Basis des Eigenraums zum Eigenwert 1 gemacht, indem du

die Matrix A - 1* E aufgeschrieben hast.

Der Eigenraum ist die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen

linearen Gleichungssystems.

Wegen der 3. Zeile ist x3 beliebig wählbar, sagen wir mal x3=t.

Dann sagt die 2. Zeile

- x2  + x3 = 0   also   - x2 + t = 0   also   x2 = t

und die 1. Zeile

-x1 + x3 = 0  also auch  x1 = t

Damit sehen alle Eigenvektoren zum EW 1 so aus

( t ; t ; t ) =  t * ( 1 ; 1 ; 1)

Also bildet der Vektor  ( 1 ; 1 ; 1) eine Basis dieses Eigenraumes.

Comments

okay vielen lieben Dank!

Und wenn die 2. und 3. Reihe nur aus 0en bestehen, z.b.

-1 -1 1

0 0 0

0 0 0

(Eigenwert 2)

komme ich dann auf zwei Basen (ich weiss nicht ob man es so nennt) ?

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Nein, dann ist es zwar so, dass x3 und x2 frei gewählt werden können,

also etwa x3 = t und x2 = s also

- x1 -s + t = 0

x1 =  -s + t und damit der gesamte Eigenvektor

(  -s+t  ;  s  ;  t ) =   s * ( -1 ; 1 ; 0 ) + t * ( 1 ; 0 ; 1 )

und dann besteht eine  Basis z.B. aus den Vektoren

( -1 ; 1 ; 0 ) und  ( 1 ; 0 ; 1 )

Das wäre dann ein 2-dimensionaler Eigenraum.

Answer 2

1. Basen kann man nicht "lösen". Man kann sie bestimmen.

2. Das, was da steht, ist kein Eigenraum, sondern eine Ansammlung von Zahlen (insgesamt sehe ich 9 Stück). Eine Erklärung dazu wäre vielleicht ganz hilfreich.