Ableitungsfunktion von f(x)= 5x^2 mit h-Methode bestimmen.

Question

Hey ich muss die ableitungsfunktion von f(x) =5x^2 aufstellen

Es wäre super wenn der Helfer jeden Schritt erklärt weil ich alles um das Thema lim und h gegen 0 noch gar nicht verstehe. Wie und wo muss ich die binomische Formel anwenden? Liebe grüße 

Answer 1

Differenzenquotient:

( f(x+h) - f(x) ) / ( (x+h) - x )   | 5x^2 einsetzen

(5(x+h)^2 - 5x^2) / h

(5x^2 + 10xh + 5h^2 - 5x^2) / h

(10xh + 5h^2) / h

10x + 5h

Für h-->0 bleibt 10x übrig. Das ist die Ableitung.

Answer 2

um eine Funktion abzuleiten benötigst du den Differentialquotienten.

Dieser lautet:

f'(x) bedeutet das die Funktionsgleichung einmal abgeleitet wird. 

heißt das wir die Funktion y nach x ableiten. (y ist in diesem Fall eine andere Darstellung für f(x)).

Der Grenzwert einer Funktion kannst du dir folgendermaßen vorstellen:

Stellt man zum Beispiel die Funktion y = 1 + e^-x grafisch dar, so kann man vermuten, dass sich die Funktionswerte für x → ∞ dem Wert 1 nähern. Wie den Grenzwert einer Folge kann man auch den Grenzwert einer Funktion mithilfe der ε-Umgebung beschreiben. Zeichnet man symmetrisch um den vermuteten Grenzwert g = 1 einen Streifen der Breite 2ε, so kann man eine Stelle x₀ angeben, ab der alle Funktionswerte in diesem Streifen liegen. 

Es gilt: 

Den wenn du für x eine Zahl wie z.B. 3, 4, 20 , einfügst, so merkst du, dass e^-x immer näher an 0 herankommt. Das würde wiederrum heißen, dass 1 + 0 = 1 ist.

~plot~1 + e^{-x};1.2;0.8~plot~

Der Bereich, welcher hier von zwei konstanten Funktionen eingeschlossen wird wird als ε-Umgebung bezeichnet. 

Nun zur Aufgabe:

Wir setzen in den Differentialquotienten ein

Wie du siehst wird die binomische Formel bei 

angewandt.

Nun wird Δx zu 0. Daraus folgt:

Im Grunde genommen gilt für eine Ableitung der Potenzfunktion:

Comments

In der ersten Ableitung steht der ursprüngliche Exponent als Faktor vor der Potenz, der Exponent wird um 1 verringert. 

Analog kann man die Ableitung von f(x) = xⁿ für alle Exponenten n ∈ ℕ ermitteln. 

Mithilfe des Pascal'schen Dreiecks kann eine Formel für (x + Δx)ⁿ angegeben werden.

Es gilt:

f'(x) = n*x^n-1 

Der Beweis wurde nur für Exponenten n ∈ ℕ geführt. Die Ableitungsvorschrift gilt jedoch für alle reellen Exponenten, also auch für alle Funktionen, die als Potenzfunktion angeschrieben werden können.