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Hey ich muss die ableitungsfunktion von f(x) =5x2 aufstellen

Es wäre super wenn der Helfer jeden Schritt erklärt weil ich alles um das Thema lim und h gegen 0 noch gar nicht verstehe. Wie und wo muss ich die binomische Formel anwenden? Liebe grüße

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Differenzenquotient:

( f(x+h) - f(x) ) / ( (x+h) - x )   | 5x2 einsetzen

(5(x+h)2 - 5x2) / h

(5x2 + 10xh + 5h2 - 5x2) / h

(10xh + 5h2) / h

10x + 5h

Für h-->0 bleibt 10x übrig. Das ist die Ableitung.

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um eine Funktion abzuleiten benötigst du den Differentialquotienten.

Dieser lautet:

Bild Mathematik

f'(x) bedeutet das die Funktionsgleichung einmal abgeleitet wird.

Bild Mathematik

heißt das wir die Funktion y nach x ableiten. (y ist in diesem Fall eine andere Darstellung für f(x)).

Der Grenzwert einer Funktion kannst du dir folgendermaßen vorstellen:

Stellt man zum Beispiel die Funktion y = 1 + e-x grafisch dar, so kann man vermuten, dass sich die Funktionswerte für x → ∞ dem Wert 1 nähern. Wie den Grenzwert einer Folge kann man auch den Grenzwert einer Funktion mithilfe der ε-Umgebung beschreiben. Zeichnet man symmetrisch um den vermuteten Grenzwert g = 1 einen Streifen der Breite 2ε, so kann man eine Stelle x0 angeben, ab der alle Funktionswerte in diesem Streifen liegen.

Es gilt:

Bild Mathematik

Den wenn du für x eine Zahl wie z.B. 3, 4, 20 , einfügst, so merkst du, dass e-x immer näher an 0 herankommt. Das würde wiederrum heißen, dass 1 + 0 = 1 ist.

Plotlux öffnen

f1(x) = 1+e-xf2(x) = 1,2f3(x) = 0,8


Der Bereich, welcher hier von zwei konstanten Funktionen eingeschlossen wird wird als ε-Umgebung bezeichnet. 

Nun zur Aufgabe:

Wir setzen in den Differentialquotienten ein

Bild Mathematik

Wie du siehst wird die binomische Formel bei

Bild Mathematik

angewandt.

Nun wird Δx zu 0. Daraus folgt:

Bild Mathematik

Im Grunde genommen gilt für eine Ableitung der Potenzfunktion:

Bild Mathematik

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In der ersten Ableitung steht der ursprüngliche Exponent als Faktor vor der Potenz, der Exponent wird um 1 verringert.

Analog kann man die Ableitung von f(x) = xn für alle Exponenten n ∈ ℕ ermitteln.

Mithilfe des Pascal'schen Dreiecks kann eine Formel für (x + Δx)n angegeben werden.

Es gilt:

Bild Mathematik

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f'(x) = n*xn-1

Der Beweis wurde nur für Exponenten n ∈ ℕ geführt. Die Ableitungsvorschrift gilt jedoch für alle reellen Exponenten, also auch für alle Funktionen, die als Potenzfunktion angeschrieben werden können.

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