zu b)
f(A∩B)=f(A)∩f(B) wieder genauso links Teilmenge von rechts und umgekehrt.
Sei y aus f(A∩B), dann gibt es x aus A∩B mit f(x) = y
dann ist x sowohl in A als auch in B und damit y
sowohl aus f(A) als auch aus f(B) .
also y aus f(A) ∩ f(B) .
Also " links Teilmenge von rechts" gezeigt.
Andersrum:
sei y aus f(A)∩f(B) , dann ist y aus f(A) und y aus f(B)
also gibt es x1 aus A mit f(x1) = y und x2 aus B mit f(x2) = y
Im Gegensatz zum Aufgabenteil a) kann man jetzt nicht schließen,
dass x1=x2 sein muss, dazu müsste f injektiv sein, davon ist aber keine
Rede.
Also muss man als Gegenbeispiel nur etwas nehmen, was nicht injektiv ist,
Etwa f : [-1 ; 1 ] → IR mit f(x) = x^2
Dann ist f( [-1:0] ) = [0;1] und f ( [0;1] ) = [0;1]
mit A = [-1;0] und B=[0;1] ist also f(A) ∩ f(B) = [o;1]
(Schnittmenge zweier gleicher Mengen).
Aber A∩B ist ja nur { 0 } also deren Bild auch nur {0}.
Und damit ist die Gleichung widerlegt. Es gilt eben nur
f(A∩B) ⊂ f(A)∩f(B) Aber nicht die umgekehrte
Teilmengenbeziehung.
