Tangentialebene aus bereits bestimmten Punkten aufstellen

Question

ich muss zeigen, dass zwei Kugeln den Punkt B(2/2/3) berühren und im Anschluss daran muss ich eine Gleichung der gemeinsamen Tangentialebene aufstellen.

Leider komme ich mit dem 2. Teil der Aufgabe nicht zu recht also hier schon einmal meine Lösung zum 1. Teil:

Kreis 1 → Mittelpunkt: M(1/0/1) und r=3

Kreis 2 → Mittelpunkt: M(4/6/7) und r=9

nun habe ich jeweils die Strecke von M1B und die Strecke von M2B berechnet und den Betrag ausgerechnet daraus ergibt sich, dass die Kugeln den Punkt B berühren.

M1B = √1^2+2^2+2^2  = 3 liegt somit drauf (r ist auch 3)

M2B= √2^2+4^2+4^2  = 9 liegt auch drauf

nun weiß ich aber leider nicht, wie ich eine Tangentialebene daraus aufstellen soll könnt Ihr mir dabei vielleicht helfen?

Vielen Dank :)

Answer 1

Hi,

eine schöne Eigenschaft von Kugeln ist, dass die Tangentialebene an einem Punkt auf der Kugeloberfläche orthogonal zum Vektor zwischen besagten Punkt und dem Mittelpunkt liegt.

Das bedeutet konkret für dich:

Der Vektor \(\vec{M_1B}\) ist der Normalenvektor der Tangentialebene der 1. Kugel am Punkt \(B\). Da du den Normalenvektor und einen Punkt der Ebene gegeben hast, wirst du bestimmt auch die gefragte Gleichung aufstellen können. Genau so gehst du bei der anderen Kugel vor.

Gruß