Polynom in Linearfaktoren zerlegen. P(x)=(x^5+2x^4-2x^3-4x^2+x+2)

Question

Hallo

ich brauche Hilfe zur folgenden Aufgabe. P(x)=(x^5+2x^4-2x^3-4x^2+x+2)

wie schon im Titel erwähnt soll ich in Linearfaktoren zerlegen. dazu kann man ja den Satz von Vieta benutzten, den ich aber nicht wirklich verstanden habe.

also die Antwort bitte mit Erklärung. gibt es noch andere Möglichkeiten es zulosen außer diesen Satz?

schon mal vielen dank für die Hilfe.

lg

Comments

Warum schreibst du komplex ? Es kann sein, dass alle Nullstellen reelle Zahlen sind.

---

Eigentlich steht oben doch nichts von komplexen Zahlen? Abgesehen davon sind reelle Zahlen auch komplex.

---

jd1399: Man müsste nicht komplex schreiben bei in den Stichworten, wenn man auf der Suche nach reellen Nullstellen ist.

Answer 1

Du brauchst einfach alle Nullstellen des Polynoms.

Hier in Diesem Beispiel muss die Nullstelle ein Teiler von 2 sein und dann kannst du durch Polynomdivision mit

:(x-x0) die anderen Nullstellen herausfinden und am Schluss das Polynom schreiben mit

(x-x0,1)*(x-x0,2)...

Comments

am Schluss

(x+1)^2*(x-1)^2*(x+2)

---

hmm danke aber ich verstehe deine Antwort nicht wirklich. Mir ist klar wie die Linearfaktoren am ende aussehen müssen. aber nicht wie ich dahin komme.

also nullstellen finden aber wie am schnellsten?

Answer 2

Mit Polynomdivision sieht das so aus:

siehe Ausdruck

Also Teiler der Zahl 2 in der Aufgabe sind ±2 und ±1

Das mußt Du dann probieren .

Hinweis : Bei solchen Aufgaben sind die Nullstellen oft  ±2 und ±1 .

Das Ergebnis wurde ja schon angegeben.

Answer 3

P(x)=(x⁵+2x⁴-2x³-4x²+x+2)

Ziel

P(x) = (x...)(x....)(x....)(x.....)(x....)

Vieta: Teste mit allen ganzzahligen Teilern von 2. Also mit ±1 und ±2

Du merkst

x=1

1+2-2-4+1+2 = 0 stimmt

x=-1

-1 + 2 + 2 - 4 -1 + 2 = 0 stimmt

Daher schon mal klar

P(x) = (x-1)(x+1)(..)(..)(...) = (x^2 - 1)  (..)(..)(...)

Rechne nun

(x⁵+2x⁴-2x³-4x²+x+2): (x^2 -1) 

mit Polynomdivision.

Und suche die Nullstellen des Resultates. 

Wie Polynomdivisionen gehen, kannst du hier lernen: https://www.mathelounge.de/89870/polynomdivision-wie-bitte 

Comments

danke schön

polynomdivision kann ich aber danke haha

---

Beachte noch: Das Produkt von allen 5 Zahlen in den Faktoren ist +2.

D.h. zum Schluss hast du hier dann 1*1 * (-1)* (-1) * 2 = 2

==> P(x) = (x+1)^2 (x-1)^2 (x+2)

---

Lu; ist dir bekannt, dass du Polynomdivision wesentlich einfacher über das Hornerschema haben kannst?

---

Danke. Ja. Ich ziehe die Polynomdivision von Hand vor, da sie weniger vorzeichenfehleranfällig ist.

Answer 4

Es gibt eine ganz bestimmte Klasse von Polynomen, zu denen auch deines gehört. Sie sind sämtlich ungerade. Da kommst du mit einem fiesen Ausklammertrick zum Ziel:




        f  (  x  )  :=  x  ⁵  +  2  x  ⁴  -  2  x  ³  -  4  x  ²  +  x  +  2    =   (  1  )
     
                      =  (  x  ^  5  +  2  x  ^  4  )  -  (  2  x  ³  +  4  x  ²  )  +  (  x  +  2  )    =   (  2  )

                      =  x  ^  4  (  x  +  2  )  -  2  x  ²  (  x  +  2  )  +  (  x  +  2  )    =   (  3  )
                      
                      =  (  x  +  2  )  (  x  ^  4  -  2  x  ²  +  1  )   =     (  4  )     

                      =  (  x  +  2  )  (  x  ²  -  1  )  ²  =       (  5  )

                     =  (  x  +  2  )  [  (  x  +  1  )  (  x  -  1  )  ]  ²  =    (  6  )

                     =  (  x  +  2  )  (  x  +  1  )  ²  (  x  -  1  )  ²        (  7  )

Answer 5

Hi, ich bin mir ziemlich sicher, dass solche Aufgaben nicht mit dem Divisionsalgorithmus angegangen werden sollten. Man kann hier ganz elementar vorgehen:
$$ x^5+2x^4-2x^3-4x^2+x+2 = \\\,\\ x^4\cdot \left(x+2\right)-2x^2\cdot\left(x+2\right)+(x+2) = \\\,\\ \left(x^4-2x^2+1\right)\cdot(x+2) = \\\,\\ \left(x^2-1\right)^2\cdot(x+2) = \\\,\\ \left(x+1\right)^2\cdot\left(x-1\right)^2\cdot(x+2). $$

Comments

In der letzten Zeile muss es natürlich an geeigneter Stelle \(+1\) statt \(-1\) heißen!

---

EDIT. Habe das + hoffentlich an der richtigen Stelle reinkorrigiert.