15x^2+8x+1 in Linearfaktoren zerlegen

Question

Wie kommt man von 15x^2+8x+1=0

auf (3x+1)(5x+1)=0 ?

Mit dem Satz von Vieta habe ich x1+x2 =-8/15 und x1*x2=1/15

und komme damit so nicht weiter.

Answer 1

Es geht hier auch schneller, wenn man ein wenig überlegt:

(a+b)(c+d)

b*d muss 1 ergeben --> b,d=1

a*b muss 15x^2 ergeben --> a=3x, b=´5x . Das findet man schnell durch Probieren heraus. Denn 15x und 1x kommen nicht infrage.

Answer 2

z.B mit quadratischer Ergänzung:

$$ 15x^2+8x+1=0=15[x^2+\frac { 8 }{ 15 }x+\frac { 1 }{ 15 }]\\=15[(x+\frac { 4 }{ 15 })^2+\frac { 15 }{ 15^2 }-\frac { 16 }{ 15^2}]\\=15[(x+\frac { 4 }{ 15 })^2-\frac {1 }{ 225 }]=15[((x+\frac { 4 }{ 15 })+\frac {1 }{ 15 })((x+\frac { 4 }{ 15 })-\frac {1 }{ 15 })]\\=15[(x+\frac { 1 }{3 })(x+\frac { 1 }{ 5 })] $$

Das kann man so stehen lassen bzw. gegeben falls den Faktor 15 noch in 3*5 aufspalten und reinmultiplizieren.