Für welche Z gilt Folgendes: (1+z)/(1-z) Element (-unendlich, 0] ...?

Question

Hallo.

Meine Aufgabe:

Zeigen sie, dass für z∈C \ {1} gilt:

$$ z\in (-\infty ,-1]\cup (1,\infty )\quad \Longleftrightarrow \frac { 1+z }{ 1-z } \in (-\infty ,0] $$

Ich habe hier bereits:

=>: Für z = -1 ist 1+z = 0 

und für z >-1 ist 1+z negativ und 1-z positiv

Damit wäre die Hinrichtung gezeigt

<= : Der Bruch ist 0,falls z = -1 und kleiner als 0, falls Nenner und Zähler unterschiedliche Vorzeichen haben.

Nenner ist positiv für z>-1 und negativ für z<-1.

Zähler ist positiv für z<1 und negativ für z>1.

Kombinieren wir beides:
Bruch negativ für: z>-1 und z>1, also z>-1
und für : z<-1 und und z<1, also z<1
Damit wäre die Rückrichtung und auch die Aussage gezeigt.

Der zweite Teil ist nun:

Für welche z gilt:

$$dz\quad log(\frac { 1+z }{ 1-z } )\quad =\frac { 2 }{ 1-{ z }^{ 2 } } $$

Habe nun erst einmal die Ableitung gebildet per Produktregel und erhalte die zu zeigende Aussage.

Kann ich jetzt sagen, dass der Logarithmus für z= x+iy mit x>0 holomorph ist und somit diese Aussage stimmt für alle z bis auf die z aus dem 1. Aufgabenteil?

Comments

Vielleicht solltest du in deiner Argumentation für die Rückrichtung des ersten Teils noch darauf eingehen, dass \( \frac{1+z}{1-z} \) nicht reell sein kann wenn \( z \) nicht reell ist.

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Stimmt, daran habe ich gar nicht gedacht, weil es für mich schon klar war. Da reicht eventuell zu sagen, dass der Bruch reell ist, wenn Zähler ein vielfaches vom Nenner ist oder umgekehrt und des ist nie der Fall da, der Imaginärteil von Zähler und Nenner gleich sind.

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"Damit wäre die Hinrichtung gezeigt"

und wer war der Delinquent ?

womöglich der Imaginärteil ...

... der ist nämlich für die Definition der Definititionsmenge von z unerwähnt geblieben.

Ist das erklärbar ?

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Ich verstehe nicht, worauf du hinaus möchtest.

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Eine Hinrichtung steht oft in der Kritik =).

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für z∈C \ {1} gilt

dann folgt eine Zeile, die sich nur auf Realteile bezieht.

Sollte z Element der komplexen Zahlen sein, ist die Darstellung zumindest unvollständig.

Danach sprichst du von positiven bzw. negativen Nennern/Zählern ...

Kann eine komplexe Zahl eigentlich positiv sein? Ich meine nicht, dass man das sagen kann, sobald ein Imaginärteil ungleich Null vorliegt.

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Der Imaginärteil von \( z \) ist bei der Hinrichtung ganz am Anfang gestorben, als gesagt wurde, dass \( z\in (-\infty, -1] \cup (1,\infty) \) ist.

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"dann folgt eine Zeile, die sich nur auf Realteile bezieht."

Genau diese Zeile schränkt doch die Menge,aus der das z kommen kann in der Hinrichtung ein.

Ich gehe in der Hinrichtung durch die Bedingung doch von aus, dass es keinen Imaginärteil gibt in z und damit auch keinen Imaginärteil in dem Bruch.

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"Sollte z Element der komplexen Zahlen sein, ist die Darstellung zumindest unvollständig."

Welche Darstellung?