Lösungsmenge der Ungleichung x^2-6x/ |x-4| < x+2 bestimmen

Question

Es soll die Lösungsmenge der Ungleichung x²-6x/ |x-4| < x+2 bestimmt werden.
Für mich ist das Quadrat im Zähler das Problem.

Mein Ansatz:
Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen ausser die Ziffer 4, d.h. x ist ungleich 4.
Fallunterscheidung mit
1. Fall (x-4) ist positiv, also (x-4)>0 mit x>4

x²-6x<(x+2)(x-4) ...
⇔x<3/2
Da  bekomme ich für  L₁ die Leere Menge raus.
(da x nicht gleichzeitig größer als 4 und kleiner als 3/2 sein kann)

Soweit so (hoffentlich) gut.

2.Fall (x-4) ist negativ, also (x-4)<0 mit x<4
x²-6x<(x+2)*[-(x-4)] ...

nach Umformungen steht dann bei mir
x²-4x<4

Das ist der Punkt, an dem ich nicht weiterkomme.
Wie löse ich das auf?
Ist mein bisheriger Weg richtig oder liege ich total falsch?
Danke schonmal für Tips, Anregungen und jegliche andere Hilfe!

Answer 1

x^2 - 4·x < 4

x^2 - 4·x - 4 < 0 

Jetzt einfach pq-Formel anwenden. Bei einer Nach oben geöffneten Parabel sind die Funktionswerte zwischen den Nullstellen kleiner als Null.

2 - 2·√2 < x < 2·√2 + 2

Comments

Insgesamt solltest du auf die Lösung

x ≠ 4 ∧ x > 2 - 2·√2 bzw. x ≠ 4 ∧ x > -0.8284271247

kommen.

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Fehlerhinweis
x² - 4·x < 4  gilt nur für den Fall 2 : x - 4 < 0
siehe meine Antwort.

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(x^2 - 6·x) / |x - 4| < x + 2

Warum ist 5 deiner Meinung nach keine Lösung

(5^2 - 6·5) / |5 - 4| < 5 + 2

(25 - 30) / 1 < 7

-5 < 7

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Warum ist 5 deiner Meinung nach keine Lösung

5 ist meiner Meinung nach auch eine richtige Lösung.

Der Fehler liegt in der Antwort des Fragestellers die
ich übernommen habe.
Dieser hat für den 1.Fall x < 3/2 angegeben.
Richtig ist aber x > 2

1.Fall ( x > 2 ) und ( x > 4 )  => x > 4

Zusammen mit Fall 2  ergibt sich
x > -0.8284271247  und x ≠ 4

Answer 2

x²-4x<4   | quadratische Ergänzung oder pq-Formel
x^2 - 4x + 2^2 < 4 + 4
( x - 2 )^2 < 8

dies bedeutet ( falls nicht klar dann wieder melden )
- √ 8 < x -2  < √ 8

- √ 8 + 2 < x   < √ 8 +2
-0.828 < x < 4.828

Dies war dein 2. Fall für x - 4 < 0
x < 4

Zusammen

( -0.828 < x < 4.828  ) und ( x < 4 )
-0.828 < x < 4

Comments

Den Fehler im 1. Fall habe ich gefunden.

Beim 1. Fall mit x-4>0 ergibt sich also x>2. Somit ist die Lösungsmenge dort ab 5 bis unendlich (da x>4 und x ≠4).

Beim 2. Fall mit x-4<0 ergeben sich aber noch 2 weitere Fälle:
Fall 2a: 0<x<4 und
Fall 2b: x<0, da mit x-4<0 ⇔x<4 nicht sicher ist, ob negativ oder positiv.

Das Ausrechnen fällt mir gerade noch schwer, aber mal sehen was sich demnächst bei mir ergibt....

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Leider stimmt dies nicht

Beim 1. Fall mit x-4>0 ergibt sich also x>2.
Somit ist die Lösungsmenge dort ab 5 bis unendlich (da x>4 und x ≠4).

( x > 2 ) und ( x > 4 )
Schnittmenge
x > 4 

Zeichne dir einen Zahlenstrahl auf.
Markiere die Bereiche
x > 2
und
x > 4
Dann wirst du sehen das x > 4 beide Anforderungen erfüllt.

Beim 2. Fall mit x-4<0 ergeben sich aber noch 2 weitere Fälle:
Fall 2a: 0<x<4 und
Fall 2b: x<0, da mit x-4<0 ⇔x<4 nicht sicher ist, ob negativ oder positiv.

Hier kann ich dir gar nicht folgen.
Die Antworten von mir und dem Mathecoach sind identisch.
Falls du diese nicht verstehst dann bitte die 1.Zeile angegeben
die du nicht verstehst:
Oder die eigene Rechnung einstellen.

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Habe gerade erfahren, dass man bei einer Ungleichung die pq Formel nicht anwenden darf. Stimmt das?
Wenn ja, wüsste ich nicht wie man diese Ungleichung sonst lösen kann.

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Welche Ungleichung meinst du ?
Bitte angeben.

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Ich meine die Ungleichung, die in dieser Fragestellung gelöst werden soll.. bin der Fragesteller dieser Aufgabe.