Extrema unter Nebenbedingungen

Question

Ich habe die Menge P: x^2+y^2 <1

und die Funktion

f(x,y) = x*y mit f:P ->R

Ich soll nun Extrempunkte bestimmen. Wie gehe ich vor? Habe Probleme dadurch, dass die Nebenbedingung eine Ungleichung ist.

Außerdem sollte ich vorher noch Höhenlinien und Gradientenfeld zeichnen und anschließend Bezug zwischen Extrempunkten und Zeichnung erklären.

Zeichnen ist kein Problem, aber in welchem Bezuge stehen diese beiden Dinge?

Comments

Zu der Zeichnung:
Ist es richtig, dass Extremstellen vorliegen an den Punkten, an denen die Höhenlinien die Menge P berühren?

Also,sodass grad(P) parallel zu grad(f) ist?

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Hier mal ein paar Höhenlinien:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%3D1%3B+xy%3D2%3B+xy%3D3%3B+x%5E2+%2B+y%5E2+%3D+1%3B+xy%3D0.5%3B+xy%3D0.4%3B+xy%3D-0.5%3B+x%3Dy

Die Punkte mit xy=0.5 und x=y liegen auf dem Rand des Gebietes. Höher als 0.5 dürftest du nicht kommen. 0.5 ist auch nur als Grenzwert erreichbar, da die erwähnten Punkte nicht auf P liegen.

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In wiefern hilft mir das jetzt weiter? Wenn ich als Nebenbedinung eine Ungleichung hätte,könnte ich sagen,dass bei +-1/sqrt(2)   +-1/sqrt(2) Maxima und Minima sind. Da die Menge jetzt aber offen ist, können diese Werte nicht erreicht werden.

Und sonst gibt es keine möglichen Extremstellen, weil es auch keine für die Menge x^2+y^2=1 gibt. Da verhält sich die Funktion für das innere dieser Menge  ja gleich.

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Sonst:
Gradient= ( y , x)  wird 0 für (x,y) = (0,0).

Hessematrix:
0 1

1 0

Die Hessematrix hat Eigenwerte 1 und -1. => Hessematrix ist indefinit.

(0,0) ist ein Sattelpunkt.

Keine Extrempunkte im inneren von P + P ist offen

=> Es existieren keine Extrempunkte.

Kann das stimmen?

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ja, soweit ich das durchgesehen habe ist alles richtig.

wenn x²+y²<1, dann sind die Extremstellen im Kreisinneren gesucht (und das ist offen). Da gibt es keine lokalen und damit auch keine absoluten Extremstellen.

Ich babe mich gefragt, ob derjenige, der die Aufgabe gestellt hat, vielleicht doch an die Kreisfläche einschließlich Rand gedacht hat (x²+y²<=1). Das würde dann zu Randextrema führen. An den Höhenlinien auf der Zeichnung kannst du erkennen, wo die liegen.

Grüße

Bräsig