existieren unter bestimmten Nebenbedingungen Extrema?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( h: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) mit

\( h(x, y, z)=x+y+z \)

Untersuchen Sie, ob die Funktion \( h \) unter den beiden Nebenbedingungen \( x^{2}-y^{2}=1 \) und \( 2 x+z=1 \) Extremstellen besitzt.

Problem/Ansatz:

Kann mír jemand diese Aufgabe vorrechnen?

Answer 1

Aloha :)

Wir suchen die kritischen Punkte der Funktion$$h(x;y;z)=x+y+z$$unter den beiden Nebenbedingungen$$g_1(x;y;z)=x^2-y^2=1\quad;\quad g_2(x;y;z)=2x+z=1$$

Nach Lagrange muss bei Extremstellen der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein:$$\operatorname{grad}h(x;y;z)=\lambda_1\operatorname{grad}g_1(x;y;z)+\lambda_2\operatorname{grad}g_2(x;y;z)$$

Wir setzen ein und rechnen die Gradienten aus:$$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\lambda_1\begin{pmatrix}2x\\-2y\\0\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$$

Die drei Gradienten müssen also linear abhängig sein. Das heißt, das von ihnen aufgespannte 3-dimensionale Volumen muss gleich \(0\) sein. Das von den drei Gradienten aufgespannte Volumen kann man mit der Determinante messen. Also muss die Determinante gleich Null sein:$$0\stackrel!=\begin{vmatrix}1 & 2x & 2\\1 & -2y & 0\\1 & 0 & 1\end{vmatrix}\stackrel{(S_1-=S_3)}{=}\begin{vmatrix}-1 & 2x & 2\\1 & -2y & 0\\0 & 0 & 1\end{vmatrix}=2y-2x\implies x=y$$

Diese Lagrange-Bedingung setzen wir nun in die Nebenbedingungen ein, um alle kritischen Punkte zu bestimmen. Allerdings stellen wir fest, dass bereits die erste Nebenbendingung unerfüllbar ist:$$1=g_1(x;y;z)=x^2-y^2\stackrel{(x=y)}{=}x^2-x^2=0\quad\text{Widerspruch}$$

Unter den beiden Nebenbedingungen hat die Funktion \(h(x;y;z)\) also kein Extremum.

Answer 2

Hallo

warum vorrechnen? Hier gibts nur eine , die das gern macht.

bilde den grad von F(x,y,z,λ1,λ2)=h(x,y,z)-λ1(x^2-y^2-1)-λ2*(2x+z-1)

und stelle fest ob es Nullstellen des grad gibt.

Gruß lul